Question

已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的左焦點(diǎn)F（-

3

，0），右頂點(diǎn)A（2，0）．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）斜率為

1

2

的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|AB|的最大值及此時(shí)l的直線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意可知：c=

3

，a=2，又b²=a²-c²．即可得出橢圓C的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y=

1

2

x+b，與橢圓方程聯(lián)立可得x²+2bx+2b²-2=0，△≥0，即b²≤2．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：弦長(zhǎng)|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

10-b2

，由于0≤b²≤2，即可得出．

解答： 解：（1）由題意可知：c=

3

，a=2，∴b²=a²-c²=1．
∵焦點(diǎn)在x軸上，
∴橢圓C的方程為：

x2

4

+y2=1．
（2）設(shè)直線l的方程為y=

1

2

x+b，由

y= 1 2 x+b x2 4 +y2=1

，
可得x²+2bx+2b²-2=0，
∵l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，
∴△=4b²-4（2b²-2）≥0，即b²≤2．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-2b，x₁x₂=2b²-2．
∴弦長(zhǎng)|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

10-b2

，
∵0≤b²≤2，
∴|AB|=

10-b2

≤

10

，
∴當(dāng)b=0，即l的直線方程為y=

1

2

x時(shí)，弦長(zhǎng)|AB|的最大值為

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．