Question

已知函數(shù)f（x）=x²－4，設(shè)曲線y＝f（x）在點(diǎn)（x_n，f（x_n））處的切線與x軸的交點(diǎn)為（x_n+1,0）（nN ^*），其中x₁為正實(shí)數(shù).

（Ⅰ）用x_n表示x_n+1；

（Ⅱ）若x₁=4，記a₄ =lg，證明數(shù)列｛a_n｝成等比數(shù)列，并求數(shù)列｛x_n｝的通項(xiàng)公式；

（Ⅲ）若x₁＝4，b_n＝x_n－2，T_n是數(shù)列｛b_n｝的前n項(xiàng)和，證明T_n<3.

Answer 1

本題綜合考察數(shù)列、函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等知識(shí)，以及推理論證、計(jì)算及解決問(wèn)題的能力。

解：（Ⅰ）由題可得

所以過(guò)曲線上點(diǎn)的切線方程為，

即

令，得，即

顯然 ∴

（Ⅱ）由，知，同理，

故

從而，即

所以，數(shù)列成等比數(shù)列，故，

即，從而

所以

（Ⅲ）由（Ⅱ）知

∴

∴

當(dāng)n=1時(shí)，顯然

當(dāng)n＞1時(shí)，

∴

綜上，