若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|>|y-m|,則稱x比y遠離m.
(1)若x2-1比1遠離0,求x的取值范圍;
(2)對任意兩個不相等的正數(shù)a、b,證明:a3+b3比a2b+ab2遠離2ab
ab

(3)已知函數(shù)f(x)的定義域D={{x|x≠
2
+
π
4
,k∈Z,x∈R}
.任取x∈D,f(x)等于sinx和cosx中遠離0的那個值.寫出函數(shù)f(x)的解析式,并指出它的基本性質(zhì)(結(jié)論不要求證明).
分析:(1)根據(jù)定義可得|x2-1|>1再按照絕對值不等式的解法求解.
(2)證明:易知∵
b2
a
+
a2
b
> a+b>2
ab
成立,再兩邊同乘以ab得到要證明的問題.
(3)根據(jù)定義可得f(x)=
sinx,x∈(kπ+
π
4
,kπ+
4
)
cosx,x∈(kπ-
π
4
,kπ+
π
4
)
,再由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)進行探討.
解答:解:(1)根據(jù)定義可得:|x2-1|>1
∴x2-1>1或x2-1<-1
解得x∈(-∞,-
2
)∪(
2
.+∞)

(2)證明:欲證明a3+b3比a2b+ab2遠離2ab
ab

即證|a3+b3-2ab
ab
|>|a2b+ab2-2ab
ab
|,又任意兩個不相等的正數(shù)a、b
即證|
b2
a
+
a2
b
-2
ab?
|>|a+b-2
ab?
|

由于a+b≥2
ab?
b2
a
+
a2
b
-(a+b)=
(a+b)(a2+b2-2ab)
ab
>0
b2
a
+
a2
b
>a+b>2
ab

即證|
b2
a
+
a2
b
-2
ab?
|>|a+b-2
ab?
|
成立
∴|a3+b3-2ab
ab
|>|a2b+ab2-2ab
ab
|
(3)由題意知f(x)=
sinx,x∈(kπ+
π
4
,kπ+
4
)
cosx,x∈(kπ-
π
4
,kπ+
π
4
)

性質(zhì):①函數(shù)是偶函數(shù);
②周期T=
π
2

③在區(qū)間[
2
+
π
4
,
2
+
π
2
]
k∈z是增函數(shù),在[
2
-
π
4
,
2
+
π
4
]
k∈z是減函數(shù)
④最大值為1,最小值為
2
2

⑤定義域D={{x|x≠
2
+
π
4
,k∈Z,x∈R}
點評:本題通過新定義來考查絕對值不等式的解法,絕對值不等式的證明,構(gòu)造新函數(shù)并研究其性質(zhì),設(shè)置新穎,考查豐富,是一道好題.
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若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|<|y-m|,則稱x比y接近m.
(1)若x2-1比3接近0,求x的取值范圍;
(2)對任意兩個不相等的正數(shù)a、b,證明:a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab

(3)已知函數(shù)f(x)的定義域D{x|x≠kπ,k∈Z,x∈R}.任取x∈D,f(x)等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個值.寫出函數(shù)f(x)的解析式,并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性(結(jié)論不要求證明).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若實數(shù)x,y,m滿足|x-m|<|y-m|,則稱x比y靠近m.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•煙臺一模)若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|>|y-m|,則稱x比y遠離m.若x2-1比1遠離0,則x的取值范圍是
(-∞,-
2
)∪(
2
,+∞)
(-∞,-
2
)∪(
2
,+∞)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若實數(shù)x,y,m滿足|x-m|<|y-m|,則稱x比y更接近m.
(1)若x2比4更接近1,求x的取值范圍;
(2)a>0時,若x2+a比(a+1)x更接近0,求x的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|<|y-m|,則稱x比y接近m.
(1)若2x-1比3接近0,求x的取值范圍;
(2)對任意兩個不相等的正數(shù)a、b,證明:a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab

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