Question

已知函數(shù)f（x）=e^ax-x，其中a≠0．
（1）若對一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合．
（2）在函數(shù)f（x）的圖象上取定兩點(diǎn)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）（x₁＜x₂），記直線AB的斜率為K，問：是否存在x∈（x₁，x₂），使f′（x）＞k成立？若存在，求x的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定a＞0，再求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得時(shí)，f（x）取最小值
故對一切x∈R，f（x）≥1恒成立，則，構(gòu)建新函數(shù)g（t）=t-tlnt，則g′（t）=-lnt，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，由此即可求得a的取值集合；
（2）由題意知，，構(gòu)建新函數(shù)φ（x）=f′（x）-k=，則，，構(gòu)建函數(shù)F（t）=e^t-t-1，從而可證明φ（x₁）＜0，φ（x₂）＞0，由此即可得到存在x∈（x₁，x₂），使f′（x）＞k成立．
解答：解：（1）若a＜0，則對一切x＞0，函數(shù)f（x）=e^ax-x＜1，這與題設(shè)矛盾，
∵a≠0，∴a＞0
∵f′（x）=ae^ax-1，令f′（x）=0，可得
令f′（x）＜0，可得，函數(shù)單調(diào)減；令f′（x）＞0，可得，函數(shù)單調(diào)增，
∴時(shí)，f（x）取最小值
∴對一切x∈R，f（x）≥1恒成立，則①
令g（t）=t-tlnt，則g′（t）=-lnt
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，g′（t）＞0，g（t）單調(diào)遞增；當(dāng)t＞1時(shí)，g′（t）＜0，g（t）單調(diào)遞減
∴t=1時(shí)，g（t）取最大值g（1）=1
∴當(dāng)且僅當(dāng)=1，即a=1時(shí)，①成立
綜上所述，a的取值集合為{1}；
（2）由題意知，
令φ（x）=f′（x）-k=，則

令F（t）=e^t-t-1，則F′（t）=e^t-1
當(dāng)t＜0時(shí)，F(xiàn)′（t）＜0，函數(shù)單調(diào)減；當(dāng)t＞0時(shí)，F(xiàn)′（t）＞0，函數(shù)單調(diào)增；
∴t≠0時(shí)，F(xiàn)（t）＞F（0）=0，即e^t-t-1＞0
∴，
∵＞0，
∴φ（x₁）＜0，φ（x₂）＞0
∴存在c∈（x₁，x₂），φ（c）=0
∵φ′（x）單調(diào)遞增，故這樣的c是唯一的，且
當(dāng)且僅當(dāng)x∈（，x₂）時(shí)，f′（x）＞k
綜上所述，存在x∈（x₁，x₂），使f′（x）＞k成立，且x的取值范圍為（，x₂）
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查構(gòu)建新函數(shù)確定函數(shù)值的符號，從而使問題得解．