Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)有兩個零點，證明：；

（2）設(shè)函數(shù)的兩個零點為，．證明：．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）參變分離可得，構(gòu)造函數(shù)，判斷的單調(diào)性及圖象特征，使與直線有兩個交點，即滿足題意，從而可證明結(jié)論；

（2）易知，，兩式相減得，要證，即證，進(jìn)而可將問題轉(zhuǎn)化為證明，令，則，即證，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，只需證明即可.

（1）證明：由，可得，

令，則，

當(dāng)時，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，單調(diào)遞減；

所以．

又因為當(dāng)時，；

當(dāng)時，，且當(dāng)時，；

所以有兩個零點時，．

（2）由題意知，，，

兩式相減得：，

則．

要證，即證，

只需證，

即證.

令，則，即證，

令，則，令，則，

所以在上單調(diào)遞增，，即，

所以在上單調(diào)遞增，

所以，即，

所以，

故成立.