已知a∈R,曲線C1x2+y2-ax+2ay+a2-a-1=0
(1)若曲線C1表示圓,求a的取值范圍;
(2)當(dāng)a=2時(shí),求C1所表示曲線關(guān)于直線2y+1=0的對稱曲線C2的方程;
(3)在第2題條件下,是否存在整數(shù)m,使得曲線C1與曲線C2上均恰有兩點(diǎn)到直線0≤x≤1時(shí),的距離等于1,若存在,求出m值,若不存在,說明理由.
分析:(1)化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程,利用半徑大于0,可求a的取值范圍;
(2)確定圓心C1(1,-2)關(guān)于直線2y+1=0的對稱點(diǎn)為C2(1,1),即可得到C2的方程;
(3)設(shè)C1(1,-2)到直線2x+y+m=0的距離為d1,設(shè)C2(1,1)到直線2x+y+m=0的距離為d2,則根據(jù)d1∈(1,3),d2∈(1,3),結(jié)合m為整數(shù),可得結(jié)論.
解答:解:(1)C1x2+y2-ax+2ay+a2-a-1=0,即(x-
a
2
)2+(y+a)2=
a2
4
+a+1

當(dāng)
a2
4
+a+1>0
時(shí)C1表示圓,此時(shí)a2+4a+4>0,∴a≠-2…(3分)
(2)a=2時(shí),C1:(x-1)2+(y+2)2=4,圓心(1,-2)
圓心C1(1,-2)關(guān)于直線2y+1=0的對稱點(diǎn)為C2(1,1)
C2:(x-1)2+(y-1)2=4…(6分)
(3)設(shè)C1(1,-2)到直線2x+y+m=0的距離為d1,設(shè)C2(1,1)到直線2x+y+m=0的距離為d2,則
∵d1∈(1,3),∴
|m|
5
∈(1,3)
,∴|m|∈(
5
,3
5
)
,∴m∈(
5
,3
5
)∪(-3
5
,-
5
)
…(9分),
∵d2∈(1,3),∴
|m+3|
5
∈(1,3)

|m+3|∈(
5
,3
5
)
,∴m∈(
5
-3,3
5
-3)∪(-3
5
-3,-
5
-3)
…(12分)
m∈(-3
5
,-
5
-3)∪(
5
,3
5
-3)
,
又m為整數(shù),∴m=-6或3.…(14分)
所以,存在整數(shù)m=-6或3,使得曲線C1與曲線C2上均恰有兩點(diǎn)到直線2x+y+m=0的距離等于1                  …(15分)
點(diǎn)評:本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查圓的對稱性,考查圓心到直線距離公式的運(yùn)用,屬于中檔題.
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選做題
A不等式選講
已知a∈R,若關(guān)于x的方程x2+x+|a-
1
4
|+|a|=0
有實(shí)根,求a的取值.
B坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線C1、C2的極坐標(biāo)方程分別為ρcosθ=3,ρ=4cosθ(ρ≥0,0≤θ<
π
2
,求曲線C1、C2交點(diǎn)的極坐標(biāo).

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已知點(diǎn)P在曲線C1
x2
16
-
y2
9
=1
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