4、定義在R上的函數(shù)y=f（x），對任意x1，x2都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性并證明．
分析：賦值求出f（0）=0，再令x1=-x，x2=x，有f（-x+x）=f（-x）+f（x）構造出f（-x）與f（x）的方程研究其間的關系，得出奇偶性，解答本題時注意做題格式，先判斷后證明．
解答：解：f（x）為奇函數(shù)
證明：∵定義在R上的函數(shù)y=f（x），對任意x1，x2都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），
∴令x1=x2=0，有f（0+0）=f（0）+f（0）．解得f（0）=0．
令x1=-x，x2=x，有f（-x+x）=f（-x）+f（x）=0，∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）為奇函數(shù)．
點評：本題主要考查了抽象函數(shù)的奇偶性的判定，以及賦值法的應用，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

11、定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x），當x∈[-1，1]時，f（x）=x3，則f（2009）的值是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

13、定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足：f（x）=f（4-x），且f（x-2）+f（2-x）=0，則f（508）=
0
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足f(3-x)=f(x)，(x-
3
2
)f′(x)＞0(x≠
3
2
)，若x1＜x2，且x1+x2＞3，則有（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列四個命題：
①“a＞b”是“2a＞2b”成立的充要條件；
②“a=b”是“l(fā)ga=lgb”成立的充分不必要條件；
③函數(shù)f（x）=ax2+bx（x∈R）為奇函數(shù)的充要條件是“a=0”
④定義在R上的函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)的必要條件是“
f(-x)f(x)
=1”．
其中真命題的序號是
①③
①③
．（把真命題的序號都填上）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x），當x∈[-1，1]時，f（x）=x3，則f（2011）=
-1
-1
．

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