【題目】如圖,在平行六面體中,,,平面,與底面所成角為,.
(1)求證:平行六面體的體積,并求的取值范圍;
(2)若,求二面角所成角的大小.
【答案】(1)證明見解析,;(2).
【解析】
(1)由平面,可得,然后用表示,可證明結(jié)論,利用的取值范圍,并結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì),可求得的取值范圍;
(2)證明直線兩兩垂直,然后分別以所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,再利用向量法求出二面角的余弦值,進(jìn)而可求出答案.
(1)∵,,平面,,
∴平行六面體的體積.
又,則,
∵,∴,.
∴求的取值范圍是.
(2)∵,∴,,∴直線兩兩垂直.
分別以所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,
,,設(shè)平面的法向量為,
則,即,取,可得,
平面的一個(gè)法向量為,
設(shè)二面角所成角為,則,
所以二面角所成角的大小為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),試判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),若對,都有()成立,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱中, 平面,,以為鄰邊作平行四邊形,連接.
(1)求證:平面;
(2)若二面角為.
求證:平面平面;
求直線與平面所成角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,圓經(jīng)過伸縮變換后得到曲線.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度,建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程及直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)到直線的距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義函數(shù)如下:對于實(shí)數(shù),如果存在整數(shù),使得,則.則下列結(jié)論:①是實(shí)數(shù)上的遞增函數(shù);②是周期為1的函數(shù);③是奇函數(shù);④函數(shù)的圖像與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn).則正確結(jié)論的序號(hào)是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(題文)(2017·長春市二模)如圖,在四棱錐中,底面是菱形,,平面,,點(diǎn),分別為和中點(diǎn).
(1)求證:直線平面;
(2)求與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四棱臺(tái)的上下底面分別是邊長為2和4的正方形, = 4且 ⊥底面,點(diǎn)為的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證: 面 ;
(Ⅱ)在邊上找一點(diǎn),使∥面,
并求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在四棱錐中,底面四邊形為正方形,已知平面,,.
(1)證明:;
(2)求與平面所成角的正弦值;
(3)在棱上是否存在一點(diǎn),使得平面平面?若存在,求的值并證明,若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某廠用鮮牛奶在某臺(tái)設(shè)備上生產(chǎn)A,B兩種奶制品.生產(chǎn)1噸A產(chǎn)品需鮮牛奶2噸,使用設(shè)備1小時(shí),獲利1 000元;生產(chǎn)1噸B產(chǎn)品需鮮牛奶1.5噸,使用設(shè)備1.5小時(shí),獲利1 200元.要求每天B產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過A產(chǎn)品產(chǎn)量的2倍,設(shè)備每天生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品時(shí)間之和不超過12小時(shí).假定每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量W(單位:噸)是一個(gè)隨機(jī)變量,其分布列為
W | 12 | 15 | 18 |
P | 0.3 | 0.5 | 0.2 |
該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn),使其獲利最大,因此每天的最大獲利Z(單位:元)是一個(gè)隨機(jī)變量.
(I)求Z的分布列和均值;
(II)若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨(dú)立,求3天中至少有1天的最大獲利超過10 000元的概率.
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