【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D是A1B1的中點.
(1)求證:A1C∥平面BDC1;
(2)若AB⊥AC,且AB=AC= AA1 , 求二面角A﹣BD﹣C1的余弦值.

【答案】
(1)證明:(1)取AB的中點E,連結(jié)A1E,CE,DE,

在四邊形A1EBD是平行四邊形,即A1E∥BD,

同理,四邊形CC1DE是平行四邊形,即CE∥C1D,

又A1E∩CE=E,∴平面A1CE∥平面BDC1

∵A1C平面A1CE,∴A1C∥平面BDC1


(2)解:法一:延長BD至F,連結(jié)A1F,使得A1F⊥DF,連結(jié)C1F,

∵AB⊥AC,∴A1B⊥A1C,

又A1C1⊥AA1,∴A1C1⊥平面AA1B1B,∴∠A1FC1是所求二面角的平面角,

設AB=2,又AB=AC= ,∴A1D=1,AA1=3,∴BD= ,

∵△A1DF∽△BDB1,∴ ,∴A1F= ,

∵A1C1=2,∴ ,

∴cos∠A1FC1= = .∴二面角A﹣BD﹣C1的余弦值為

法二:棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,A1B1⊥A1C1,

∴A1B1,A1C1,AA1兩兩垂直,

以A1為坐標原點,建立如圖所求的空間直角坐標系A1﹣xyz,

設AB=2,則B(3,2,0),D(0,1,0),C1(0,0,2),

=(3,1,0), =(0,﹣1,2),

設平面BDC1的法向量 =(x,y,z),

,取y=6,得 =(﹣2,6,3),

∵平面AA1DB的一個法向量 =(0,0,1)

∴cos< >= =

由圖知二面角A﹣BD﹣C1的平面角為多姿多彩銳角,

∴二面角A﹣BD﹣C1的余弦值為 /p>


【解析】(1)取AB的中點E,連結(jié)A1E,CE,DE,推導出A1E∥BD,CE∥C1D,從而平面A1CE∥平面BDC1,由此能證明A1C∥平面BDC1.(2)法一:延長BD至F,連結(jié)A1F,使得A1F⊥DF,連結(jié)C1F,推導出∠A1FC1是所求二面角的平面角,由此能求出二面角A﹣BD﹣C1的余弦值.(2)法二:以A1為坐標原點,建立如圖所求的空間直角坐標系A1﹣xyz,利用向量法能求出二面角A﹣BD﹣C1的余弦值.

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