Question

【題目】設函數(shù)F（x）= ，其中f（x）=log2（x2+1），g（x）=log2（|x|+7）．
（1）在實數(shù)集R上用分段函數(shù)形式寫出函數(shù)F（x）的解析式；
（2）求函數(shù)F（x）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：F（x）= ，

令log2（x2+1）≥log2（|x|+7），得x2﹣|x|﹣6≥0，

解得：x≤﹣3或x≥3，（5分）∴F（x）=

（2）

解：當x≥3或x≤﹣3時，F(xiàn)（x）=log2（x2+1），設u=x2+1≥10，y=log2u在[10，+∞）上遞增，所以F（x）min=log210；（說明：設元及單調性省略不扣分）

同理，當﹣3＜x＜3，F(xiàn)（x）min=log27；

又log27＜log210∴x∈R時，F(xiàn)（x）min=log27．

或解：因為F（x）是偶函數(shù)，所以只需要考慮x≥0的情形，

當0≤x＜3，F(xiàn)（x）=log2（x2+7），當x=0時，F(xiàn)（x）min=log27；

當x≥3時，F(xiàn)（x）=log2（x2+1），當x=3時，F(xiàn)（x）min=log210；

∴x∈R時，F(xiàn)（x）min=log27

【解析】（1）令log2（x2+1）≥log2（|x|+7），解得：x的取值范圍，再結合F（x）的意義用分段函數(shù)形式寫出函數(shù)F（x）的解析式即可；（2）先分情況討論函數(shù)的單調性：當x≥3或x≤﹣3時；當﹣3＜x＜3，分別求出F（x）的最小值，最后綜合得出x∈R時，F(xiàn)（x）min=log27．或利用F（x）的奇偶性，只需要考慮x≥0的情形，只須分兩種情形討論：當0≤x＜3，當x≥3時，分別求得F（x）的最小值即得．
【考點精析】關于本題考查的函數(shù)的值域，需要了解求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小（大）數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲担�因此求函數(shù)的最值與值域，其實質是相同的才能得出正確答案．