Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）判斷并證明的單調(diào)性；

（Ⅱ）是否存在實數(shù)，使函數(shù)為奇函數(shù)？證明你的結(jié)論；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在上為增函數(shù)；

（Ⅱ）時,是上的奇函數(shù)，證明見解析；

（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）直接由函數(shù)單調(diào)性的定義加以證明；

（Ⅱ）由奇函數(shù)的性質(zhì)得f（0）＝0，求得a的值，然后利用奇函數(shù)的定義證明a＝1時函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．

（Ⅲ）由題意將m進行參數(shù)分離，得到，利用換元法求得不等式右邊的最小值即可.

（Ⅰ）任取，且，則

，即

又，

，即

在上為增函數(shù)

（Ⅱ）假設(shè)存在實數(shù)，使函數(shù)為奇函數(shù),

,，即.

時,是上的奇函數(shù).

（Ⅲ）即恒成立，

∵，∴，即

∴（）恒成立，

設(shè)（），則

當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.

的最小值為

∴

即實數(shù)的取值范圍為.