Question

【題目】如圖，在三棱錐A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點(diǎn)E、F（E與A、D不重合）分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD． 求證：（Ⅰ）EF∥平面ABC；
（Ⅱ）AD⊥AC．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）因?yàn)锳B⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四點(diǎn)共面， 所以AB∥EF，
又因?yàn)镋F平面ABC，AB平面ABC，
所以由線面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；
（Ⅱ）在線段CD上取點(diǎn)G，連結(jié)FG、EG使得FG∥BC，則EG∥AC，
因?yàn)锽C⊥BD，所以FG⊥BC，
又因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD，
所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，
又因?yàn)锳D⊥EF，且EF∩FG=F，
所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，
故AD⊥AC．

【解析】（Ⅰ）利用AB∥EF及線面平行判定定理可得結(jié)論； （Ⅱ）通過取線段CD上點(diǎn)G，連結(jié)FG、EG使得FG∥BC，則EG∥AC，利用線面垂直的性質(zhì)定理可知FG⊥AD，結(jié)合線面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，從而可得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】利用空間中直線與直線之間的位置關(guān)系和直線與平面平行的判定對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．