Question

設(shè)各項(xiàng)都是正整數(shù)的無窮數(shù)列滿足：對(duì)任意，有．記．
（1）若數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，證明：；
（3）若數(shù)列的首項(xiàng)，，是公差為1的等差數(shù)列．記，，問：使成立的最小正整數(shù)是否存在？并說明理由．

Answer 1

（1）；（2）參考解析；（3）存在5

試題分析：（1）由于數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，所以通項(xiàng)公式為.由于數(shù)列為遞增數(shù)列，所以都符合.即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式.
（2）由于各項(xiàng)都是正整數(shù)的無窮數(shù)列，所以利用反正法的思想，反證法排除和即可得到證明.
（3）由各項(xiàng)都是正整數(shù)，所以由可得到.所以可得到.從而可得到是公差為1的等差數(shù)列.再根據(jù)求和公式以及解不等式的知識(shí)求出結(jié)論.
試題解析：（1），
；
（2）根據(jù)反證法排除和
證明：假設(shè)，又，所以或
①當(dāng)時(shí)，與矛盾，所以；
②當(dāng)時(shí)，即，即，又，所以與矛盾；
由①②可知．
（3）首先是公差為1的等差數(shù)列，
證明如下：
時(shí)，
所以，
即
由題設(shè)又
即是等差數(shù)列．又的首項(xiàng)，所以，，對(duì)此式兩邊乘以2，得

兩式相減得
，即，當(dāng)時(shí)，，即存在最小正整數(shù)5使得成立．
注：也可以歸納猜想后用數(shù)學(xué)歸納法證明．