Question

某市A，B，C，D四所中學報名參加某高校今年自主招生的學生人數如下表所示：

中學	A	B	C	D
人數	30	40	20	10

為了了解參加考試的學生的學習狀況，該高校采用分層抽樣的方法從報名參加考試的四所中學的學生當中隨機抽取50名參加問卷調查．
（1）問A，B，C，D四所中學各抽取多少名學生？
（2）從參加問卷調查的50名學生中隨機抽取兩名學生，求這兩名學生來自同一所中學的概率；
（3）在參加問卷調查的50名學生中，從來自A，C兩所中學的學生當中隨機抽取兩名學生，用ξ表示抽得A中學的學生人數，求ξ的分布列．

Answer 1

解：（1）由題意知，四所中學報名參加該高校今年自主招生的學生總人數為100名，
抽取的樣本容量與總體個數的比值為．
∴應從A，B，C，D四所中學抽取的學生人數分別為15，20，10，5．
（2）設“從參加問卷調查的50名學生中隨機抽取兩名學生，這兩名學生來自同一所中學”為事件M，
從參加問卷調查的50名學生中隨機抽取兩名學生的取法共有=1225種，
這兩名學生來自同一所中學的取法共有=350．
∴=．
∴從參加問卷調查的50名學生中隨機抽取兩名學生，求這兩名學生來自同一所中學
的概率為．
（3）由（1）知，在參加問卷調查的50名學生中，來自A，C兩所中學的學生人數分別為15，10．
依題意得，ξ的可能取值為0，1，2，
P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P

分析：（1）由題意知，四所中學報名參加該高校今年自主招生的學生總人數為100名，抽取的樣本容量與總體個數的比值為．據此即可計算出答案；
（2）利用組合的意義分別計算出從參加問卷調查的50名學生中隨機抽取兩名學生的方法和這兩名學生來自同一所中學的取法，再利用古典概型的概率計算公式即可得出；
（3）由（1）知，在參加問卷調查的50名學生中，來自A，C兩所中學的學生人數分別為15，10．可得ξ的可能取值為0，1，2．利用超幾何分布的概率計算公式P（ξ=k）=（k=0，1，2），即可得到分布列，利用數學期望的概率計算公式即可得出．
點評：本小題主要考查分層抽樣、概率、離散型隨機變量的分布列等基礎知識，考查數據處理、推理論證、運算求解能力和應用意識．