【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若存在最大值,且,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)令,,求證:對任意的,總存在最小值,且.
【答案】(1);(2)證明見解析
【解析】
(1)先確定函數(shù)定義域,再求導(dǎo)可得,分情況進(jìn)行討論,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,由存在最大值,且,解出實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)將代入函數(shù),對函數(shù)進(jìn)行化簡整理,可得,求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性,進(jìn)而得證.
(1)由于的定義域?yàn)?/span>,,
當(dāng)時(shí),在上為單調(diào)函數(shù),此時(shí)無最大值;
當(dāng)時(shí),由得,知在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故為的極大值點(diǎn).
故,解得:.
綜上,當(dāng)時(shí),有最大值.
(2)當(dāng)時(shí),.
,由于,則,,
并且在上單調(diào)遞增,故存在唯一的,使得,
從而,當(dāng)時(shí),,即在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,即在上單調(diào)遞增.
故函數(shù)存在最小值,結(jié)合即,得
.
綜上得,對任意的,總存在最小值,且.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線l的參數(shù)方程為(其中t為參數(shù),).在以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸所建立的極坐標(biāo)系中,曲線C的極坐標(biāo)方程為.設(shè)直線l與曲線C相交于A,B兩點(diǎn).
(1)求曲線C和直線l的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知點(diǎn),求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】皮埃爾·德·費(fèi)馬,法國律師和業(yè)余數(shù)學(xué)家,被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”,對數(shù)學(xué)界做出了重大貢獻(xiàn),其中在1636年發(fā)現(xiàn)了:若是質(zhì)數(shù),且互質(zhì),那么的次方除以的余數(shù)恒等于1,后來人們稱該定理為費(fèi)馬小定理.依此定理若在數(shù)集中任取兩個數(shù),其中一個作為,另一個作為,則所取兩個數(shù)不符合費(fèi)馬小定理的概率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高一年級開設(shè)了豐富多彩的校本課程,現(xiàn)從甲、乙兩個班隨機(jī)抽取了5名學(xué)生校本課程的學(xué)分,統(tǒng)計(jì)如下表.
甲 | 8 | 11 | 14 | 15 | 22 |
乙 | 6 | 7 | 10 | 23 | 24 |
用分別表示甲、乙兩班抽取的5名學(xué)生學(xué)分的方差,計(jì)算兩個班學(xué)分的方差.得______,并由此可判斷成績更穩(wěn)定的班級是______班.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:,過原點(diǎn)作射線交橢圓于,平行四邊形的頂點(diǎn),在橢圓上.
(1)若射線的斜率為,求直線的斜率;
(2)求證:四邊形的面積為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司在2019年新研發(fā)了一種設(shè)備,為測試其性能,從設(shè)備生產(chǎn)的流水線上隨機(jī)抽取30件零件作為樣本,測量其重量后,得到下表的相關(guān)數(shù)據(jù).為了評判某臺設(shè)備的性能,從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件,記其重量為,并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評判(表示相應(yīng)事件的概率):①;②;評判規(guī)則為:若同時(shí)滿足上述兩個不等式,則設(shè)備等級為;僅滿足其中一個,則等級為;若全部不滿足,則等級為.
經(jīng)計(jì)算,樣本的平均值,標(biāo)準(zhǔn)差,以頻率值作為概率的估計(jì)值.
重量/ | 18 | 19 | 21 | 22 | 23 | 24 | 26 | 28 | 29 | 30 |
件數(shù)/個 | 1 | 1 | 2 | 2 | 6 | 8 | 5 | 2 | 1 | 2 |
(1)試判斷設(shè)備的性能等級;
(2)若或的零件認(rèn)為是次品,其余為非次品.設(shè)30個樣本中次品個數(shù)為,現(xiàn)需要從中取出全部次品和2件非次品形成個小樣本,該公司從該小樣本中機(jī)抽取2件零件,求取出的兩件零件中恰有一件是次品的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系.xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為( 為參數(shù)),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ.
(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知曲線C2的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)A是曲線C3與C1的交點(diǎn),點(diǎn)B是曲線C3與C2的交點(diǎn),且A,B均異于原點(diǎn)O,且|AB|=4,求α的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)記,試判斷函數(shù)的極值點(diǎn)的情況;
(2)若有且僅有兩個整數(shù)解,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了提高學(xué)生的身體素質(zhì),某校高一、高二兩個年級共336名學(xué)生同時(shí)參與了“我運(yùn)動,我健康,我快樂”的跳繩、踢毽等系列體育健身活動.為了了解學(xué)生的運(yùn)動狀況,采用分層抽樣的方法從高一、高二兩個年級的學(xué)生中分別抽取7名和5名學(xué)生進(jìn)行測試.下表是高二年級的5名學(xué)生的測試數(shù)據(jù)(單位:個/分鐘):
(1)求高一、高二兩個年級各有多少人?
(2)設(shè)某學(xué)生跳繩個/分鐘,踢毽個/分鐘.當(dāng),且時(shí),稱該學(xué)生為“運(yùn)動達(dá)人”.
①從高二年級的學(xué)生中任選一人,試估計(jì)該學(xué)生為“運(yùn)動達(dá)人”的概率;
②從高二年級抽出的上述5名學(xué)生中,隨機(jī)抽取3人,求抽取的3名學(xué)生中為“運(yùn)動達(dá)人”的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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