Question

21.在平面直角坐標系中，過定點作直線與拋物線相交于A、B兩點.

(Ⅰ)若點N是點C關(guān)于坐標原點O的對稱點，求△ANB 面積的最小值;

(Ⅱ)是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出l的方程;若不存在，說明理由.(此題不要求在答題卡上畫圖)

Answer 1

本小題主要考查直線、圓和拋物線平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數(shù)學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力.

解法1：(Ⅰ)依題意，點N的坐標為N(0，-p)，可設A(x₁·y₁)，B(x₂,y₂),直線AB的方程為y=kx+p,與x²=2py聯(lián)立得消去y得x²-2pkx-2p²=0.

由韋達定理得x₁+x₂=2pk,x₁x₂=-2p².

于是S_△ABN=S_△BCN+S_△ACN =

=p|x₁-x₂|=

，

∴當k=0時，.

(Ⅱ)假設滿足條件的直線l存在，其方程為y=a，設AC的中點為O′,l與以AC為直徑的圓相交于點P、Q，PQ的中點為H，則O′H⊥PQ, O′點的坐標為。

∵

，

，

 ∴

，

∴|PQ|²=(2|PH|)²

.

令，得，此時|PQ|=p為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為。

即拋物線的通徑所在的直線。

解法2：(Ⅰ)前同解法1,再由弦長公式得

，

又由點到直線的距離公式得，

從而，

，

∴當k=0時，。

(Ⅱ)假設滿足條件的直線l存在，其方程為y=a，則以AC為直徑的圓的方程為

(x-0)(x-x₁)+(y-p)(y-y₁)=0,將直線方程y=a代入得

x²-x₁x+(a-p)(a-y₁)=0,則

.

設直線l與 以AC為直徑的圓的交點為P(x₃,y₃),Q(x₄,y₄)則有

，

 令，得，此時|PQ|=p為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為，

即拋物線的通徑所在的直線。