Question

（2013•房山區(qū)二模）在數(shù)列{a_n}中，如果對(duì)任意的n∈N^*，都有

an+2

an+1

-

an+1

an

=λ（λ為常數(shù)），則稱(chēng)數(shù)列{a_n}為比等差數(shù)列，λ稱(chēng)為比公差．現(xiàn)給出以下命題：
①若數(shù)列{F_n}滿(mǎn)足F₁=1，F(xiàn)₂=1，F(xiàn)_n=F_n-1+F_n-2（n≥3），則該數(shù)列不是比等差數(shù)列；
②若數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足an=3•2n-1，則數(shù)列{a_n}是比等差數(shù)列，且比公差λ=0；
③等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列，等差數(shù)列一定不是比等差數(shù)列；
④若{a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是等比數(shù)列，則數(shù)列{a_nb_n}是比等差數(shù)列．
其中所有真命題的序號(hào)是

①②

．

Answer 1

分析：①斐波那契數(shù)列{F_n}，根據(jù)斐波那契數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，看其是否滿(mǎn)足比等差數(shù)列的定義；
②若a_n=3•2^n-1，代入

an+2

an+1

-

an+1

an

進(jìn)行求解看是否是常數(shù)，可得答案；
③根據(jù)等比數(shù)列的定義可知

an+2

an+1

=

an+1

an

，滿(mǎn)足比等差數(shù)列的定義，若等差數(shù)列為a_n=n，看其是否滿(mǎn)足

an+2

an+1

-

an+1

an

=λ（λ為常數(shù)）；
④如果{a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是等比數(shù)列，設(shè)a_n=n，b_n=2ⁿ，看其是否滿(mǎn)足比等差數(shù)列的定義．

解答：解：解：①由題意知，數(shù)列{F_n}為斐波那契數(shù)列{F_n}，

an+2

an+1

-

an+1

an

=

an+1+an

an+1

-

an+an-1

an

≠常數(shù)，不滿(mǎn)足比等差數(shù)列的定義，故①正確；
②若a_n=3•2^n-1，則

an+2

an+1

-

an+1

an

=

3•2n+1

3•2n

-

3•2n

3•2n-1

=2-2=0，滿(mǎn)足比等差數(shù)列的定義，故②正確；
③等比數(shù)列都有

an+2

an+1

-

an+1

an

=0，滿(mǎn)足比等差數(shù)列的定義，若等差數(shù)列為a_n=1，則有

an+2

an+1

-

an+1

an

=0，故③不正確；
④如果{a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是等比數(shù)列，設(shè)a_n=n，b_n=2ⁿ，
則

an+2

an+1

-

an+1

an

=

(n+2)•2n+2

(n+1)•2n+1

-

(n+1)•2n+1

n•2n

=

2(n+2)

n+1

-

2(n+1)

n

=-

2

n(n+1)

≠常數(shù)，不滿(mǎn)足比等差數(shù)列的定義，故④不正確；
故答案為：①②

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，解題時(shí)應(yīng)正確理解新定義，同時(shí)注意利用列舉法判斷命題為假，屬于難題．