Question

設(shè)(5x

1

2

-x

1

3

)n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M，且二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，M-N=992，則展開式中x²項(xiàng)的系數(shù)為

-250

．

Answer 1

分析：利用賦值法求出展開式的各項(xiàng)系數(shù)和，據(jù)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為2ⁿ，列出方程求出n；利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為2求出展開式中x²項(xiàng)的系數(shù)．

解答：解：令x=1得M=4ⁿ，又N=2ⁿ，
∵M(jìn)-N=992，
∴4ⁿ-2ⁿ=992，
令2n=k，則k²-k-992=0，
∴k=32，
∴n=5，
∵Tr+1=

C

r 5

•(5 x

1

2

)5-r(- x

1

3

)r=(-1)r•

C

r 5

•55-r• x

15-r

6

，
令

15-r

6

=2，得r=3，
∴x²項(xiàng)系數(shù)為（-1）³•C₅³•5²=-250．
故答案為：-250．

點(diǎn)評：本題考查利用賦值法求展開式的各項(xiàng)系數(shù)和；二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)；利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求展開式的特定項(xiàng)，是容易題．