【題目】平面上有7個(gè)點(diǎn)，每三點(diǎn)的兩兩連線都組成一個(gè)不等邊三角形．求證：一定可以找到4對三角形，使每對三角形的公共邊既是其中一個(gè)三角形的最長邊又是另一個(gè)三角形的最短邊．

【答案】見解析

【解析】

記平面上的7個(gè)點(diǎn)為，，…，．因?yàn)槊咳c(diǎn)兩兩連線都組成不等邊三角形，故每個(gè)三角形都有最長邊，也都有最短邊．現(xiàn)將每個(gè)三角形的最長邊都染上紅色，剩下的邊染上藍(lán)色，則每一個(gè)三角形都有紅色邊．

下面證明：個(gè)三角形中必有4個(gè)同色三角形．

（1）6階完全圖的邊作二染色，至少有2個(gè)同色三角形．

設(shè)的引線中有條紅線，條藍(lán)線，以為頂點(diǎn)的非同色三角形有個(gè)．

由，知．

則非同色三角形總計(jì)為．

故同色三角形的個(gè)數(shù)應(yīng)滿足．

（2）7階完全圖的邊作二染色，至少有4個(gè)同色三角形．

由（1）的證明知，此時(shí)，至少有2個(gè)同色三角形．不妨設(shè)其中一個(gè)為，去掉，對剩下的6個(gè)點(diǎn)又應(yīng)有2個(gè)同色三角形，且異于，這就得到3個(gè)同色三角形．

這3個(gè)同色三角形有9個(gè)頂點(diǎn)，取自7個(gè)不同的點(diǎn)，故至少有2個(gè)頂點(diǎn)重合于某一，去掉，則去掉了2個(gè)同色三角形，剩下的6個(gè)點(diǎn)又應(yīng)有2個(gè)同色三角形，它們與被去掉的2個(gè)同色三角形是不相同的，故一共有4個(gè)不同的同色三角形．

（3）由于每一個(gè)三角形都有紅邊，這4個(gè)同色三角形必為紅色三角形，每個(gè)紅色三角形的最短邊必為另一個(gè)三角形的最長邊．這就找到了4條連線（每個(gè)紅色三角形的最短邊，即使是兩個(gè)紅色三角形的公共邊也沒有關(guān)系），每一條既是一個(gè)三角形的最長邊（紅色），又是另一個(gè)三角形（所在紅色三角形）的最短邊．

練習(xí)冊系列答案
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（2）求二面角的余弦值.

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①甲只能承擔(dān)第四項(xiàng)工作

②乙不能承擔(dān)第二項(xiàng)工作

③丙可以不承擔(dān)第三項(xiàng)工作

④丁可以承擔(dān)第三項(xiàng)工作

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【題目】過拋物線的焦點(diǎn)作直線與拋物線交于點(diǎn)、．

（1）求證：不是直角三角形．

（2）當(dāng)的斜率為時(shí)，拋物線上是否存在點(diǎn)，使為直角三角形？若存在，求出所有的點(diǎn)；若不存在，說明理由．

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（3）在（2）的條件下求面積的最大值.

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