Question

【題目】已知曲線，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為.

（1）證明：直線過(guò)定點(diǎn)：

（2）若以為圓心的圓與直線相切，且切點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求該圓的方程.

Answer 1

【答案】(1)見詳解；(2) 或.

【解析】

（1）可設(shè)，，然后求出A，B兩點(diǎn)處的切線方程，比如：，又因?yàn)?/span>也有類似的形式，從而求出帶參數(shù)直線方程，最后求出它所過(guò)的定點(diǎn).

（2）由(1)得帶參數(shù)的直線方程和拋物線方程聯(lián)立，再通過(guò)為線段的中點(diǎn)，得出的值，從而求出坐標(biāo)和的值，最后求出圓的方程.

(1)證明：設(shè),,則。又因?yàn)?/span>，所以.則切線DA的斜率為，故，整理得.設(shè)，同理得.,都滿足直線方程.于是直線過(guò)點(diǎn)，而兩個(gè)不同的點(diǎn)確定一條直線，所以直線方程為.即，當(dāng)時(shí)等式恒成立。所以直線恒過(guò)定點(diǎn).

(2)由(1)得直線方程為，和拋物線方程聯(lián)立得：

化簡(jiǎn)得.于是,設(shè)為線段的中點(diǎn)，則

由于，而,與向量平行，所以，

解得或.

當(dāng)時(shí)，，所求圓的方程為;

當(dāng)時(shí)，或，所求圓的方程為.

所以圓的方程為或.