【題目】在如圖所示的四棱錐P﹣ABCD中,四邊形ABCD為正方形,PA⊥CD,BC⊥平面PAB,且E,M,N分別為PD,CD,AD的中點, =3

(1)證明:PB∥平面FMN;
(2)若PA=AB,求二面角E﹣AC﹣B的余弦值.

【答案】
(1)證明:連結(jié)BD,分別交AC、MN于點O,G,連結(jié)EO、FG,

∵O為BD中點,E為PD中點,∴EO∥PB,

=3 ,∴F為ED中點,又CM=MD,AN=DN,∴G為OD的中點,

∴FG∥EO,∴PB∥FG,

∵FG平面FMN,PB平面FMN,

∴PB∥平面FMN.


(2)解:∵BC⊥平面PAB,∴BC⊥PA,又PA⊥CD,BC∩CD=C,

∴PA⊥平面ABCD,

如圖,以A為坐標(biāo)原點,AB,AD,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)PA=AB=2,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),E(0,1,1),

=(2,2,0), =(0,1,1),

平面ABCD的一個向向量 =(0,0,1),

設(shè)平面AEC的法向量為 =(x,y,z),

,取x=1,得 =(1,﹣1,1),

∴cos< , >= = ,

由圖知二面角E﹣AC﹣B為鈍角,

∴二面角E﹣AC﹣B的余弦值為﹣


【解析】(1)連結(jié)BD,分別交AC、MN于點O,G,連結(jié)EO、FG,推導(dǎo)出EO∥PB,F(xiàn)G∥EO,PB∥FG,由此能證明PB∥平面FMN.(2)以A為坐標(biāo)原點,AB,AD,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,由此能求出二面角E﹣AC﹣B的余弦值.
【考點精析】關(guān)于本題考查的直線與平面平行的判定,需要了解平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行才能得出正確答案.

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【題目】為評估設(shè)備生產(chǎn)某種零件的性能,從設(shè)備生產(chǎn)零件的流水線上隨機抽取100件零件作為樣本,測量其直徑后,整理得到下表:

直徑mm

58

59

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

73

合計

件數(shù)

1

1

3

5

6

19

33

18

4

4

2

1

2

1

100

經(jīng)計算,樣本的平均值,標(biāo)準(zhǔn)差,以頻率值作為概率的估計值.

(1)為評判一臺設(shè)備的性能,從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件,記其直徑為,并根據(jù)以下不等式進

行評判(表示相應(yīng)事件的概率);①;②;③.

評判規(guī)則為:若同時滿足上述三個不等式,則設(shè)備等級為甲;僅滿足其中兩個,則等級為乙;若僅滿足其中一個,則等級為丙;若全部不滿足,則等級為丁,試判斷設(shè)備的性能等級.

(2)將直徑小于等于或直徑大于的零件認為是次品.

。⿵脑O(shè)備的生產(chǎn)流水線上隨意抽取2件零件,計算其中次品個數(shù)的數(shù)學(xué)期望

ⅱ)從樣本中隨意抽取2件零件,計算其中次品個數(shù)的數(shù)學(xué)期望.

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【題目】已知非空集合M滿足M{0,1,2,…,n}(n≥2,n∈N+).若存在非負整數(shù)k(k≤n),使得當(dāng)a∈M時,均有2k﹣a∈M,則稱集合M具有性質(zhì)P.設(shè)具有性質(zhì)P的集合M的個數(shù)為f(n).
(1)求f(2)的值;
(2)求f(n)的表達式.

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【題目】如圖,橢圓 =1(a>b>0)的左、右頂點分別為A,B,焦距為2 ,直線x=﹣a與y=b交于點D,且|BD|=3 ,過點B作直線l交直線x=﹣a于點M,交橢圓于另一點P.

(1)求橢圓的方程;
(2)證明: 為定值.

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(1)求證:△ABC為等腰三角形
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(1)當(dāng)a=2時,求函數(shù)f(x)的最值;
(2)當(dāng)a≠0時,過原點分別作曲線y=f(x)與y=g(x)的切線l1 , l2 , 已知兩切線的斜率互為倒數(shù),證明: <a<

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【題目】某單位為了了解用電量y度與氣溫x℃之間的關(guān)系,隨機統(tǒng)計了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫,并制作了對照表:

氣溫/

18

13

10

-1

用電量/

24

34

38

64

由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程中,≈-2,預(yù)測當(dāng)氣溫為-4℃時,用電量為多少.

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A.[﹣2,2]
B.
C.
D.

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