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如圖,已知:橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的上頂點為P,離心率e=
6
3
,長軸長為4
3
;點M為拋物線y2=6x上一動點,過M作拋物線的切線l與橢圓相交于不同的兩點A,B.
(Ⅰ)試求橢圓的方程;
(Ⅱ)若∠APB為鈍角,試求直線AB的斜率范圍.
分析:(Ⅰ)利用橢圓的離心率e=
6
3
,長軸長為4
3
,求出幾何量,即可求得橢圓的方程;
(Ⅱ)分類討論,設出直線方程,分別代入橢圓、拋物線方程,利用韋達定理,及∠APB為鈍角,即可求直線AB的斜率范圍.
解答:解:(Ⅰ)由題意,橢圓的離心率e=
6
3
,長軸長為4
3
,
a=2
3
,c=2
2

b=
a2-c2
=2
∴橢圓的方程為
x2
12
+
y2
4
=1
…(5分)
(Ⅱ)若直線斜率不存在,顯然不合題意;
若斜率存在,則可設直線l:y=kx+t代入
x2
12
+
y2
4
=1
化簡得:(3k2+1)x2+6ktx+3t2-12=0
設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-
6kt
3k2+1
,x1x2=
3t2-12
3k2+1
,
∴y1+y2=k(x1+x2)+2t,y1y2=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2…(8分)
△=36k2t2-4(3k2+1)(3t2-12)>0得:12k2-t2+4>0…(1)…(9分)
y=kx+t代入y2=6x得:k2x2+(2kt-6)x+t2=0
△=4k2t2-24kt+36-4k2t2=0,∴t=
3
2k
…(2)…(10分)
∵∠APB為鈍角,∴
PA
PB
<0

(x1,y1-2)•(x2,y2-2)=x1x2+k2x1x2+(kt-2k)(x1+x2)+t2-4t+4<0
化簡得:t2-t-2<0解得:-1<t<2…(3)…(13分)
由(1)(2)得k2
31
-2
12
,∴k<-
31
-2
12
或k>
31
-2
12

由(2)(3)得  k=
3
2t
(-1<t<2)得:k<-
3
2
或k>
3
4

k<-
3
2
或k>
3
4
…(15分)
點評:本題考查橢圓的標準方程,考查直線與橢圓、拋物線的位置關系,考查韋達定理的運用,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,已知:橢圓M的中心為O,長軸的兩個端點為A、B,右焦點為F,AF=5BF.若橢圓M經過點C,C在AB上的射影為F,且△ABC的面積為5.
(Ⅰ)求橢圓M的方程;
(Ⅱ)已知圓O:x2+y2=1,直線l:mx+ny=1,試證明:當點P(m,n)在橢圓M上運動時,直線l與圓O恒相交;并求直線l被圓O截得的弦長的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,已知某橢圓的焦點是F1(-4,0)、F2(4,0),過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B,且|F1B|+|F2B|=10,橢圓上不同的兩點A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件:|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數列.

(1)求該弦橢圓的方程;

(2)求弦AC中點的橫坐標;

(3)設弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m,求m的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,已知某橢圓的焦點是F1(-4,0)、F2(4,0),過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B,且|F1B|+|F2B|=10,橢圓上不同的兩點A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件:|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數列.

(1)求該橢圓的方程;

(2)求弦AC中點的橫坐標;

(3)弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m,求m的取值范圍.

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科目:高中數學 來源:2013屆山東省高二上學期12月月考理科數學 題型:解答題

.(本小題滿分12分).

如圖,已知某橢圓的焦點是F1(-4,0)、F2(4,0),過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B,且|F1B|+|F2B|=10,橢圓上不同的兩點A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件:|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數列.

 

 

 

(1) 求該弦橢圓的方程;

(2)求弦AC中點的橫坐標;

(3)設弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m,求m的取值范圍.

 

 

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科目:高中數學 來源:2013屆山東省高二12月月考理科數學 題型:解答題

(本小題滿分12分).

如圖,已知某橢圓的焦點是F1(-4,0)、F2(4,0),過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B,且|F1B|+|F2B|=10,橢圓上不同的兩點A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件:|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數列.

 

(1)求該弦橢圓的方程;

(2)求弦AC中點的橫坐標;

(3)設弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m,求m的取值范圍.

 

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