Question

已知函數(shù)，．（e=2.718…)

（I）求函數(shù)的極大值；（II ）求證：；

   （Ⅲ）對(duì)于函數(shù)與定義域上的任意實(shí)數(shù)，若存在常數(shù)，使得 和都成立，則稱直線為函數(shù)與的“分界線”．設(shè)函數(shù)，試探究函數(shù)與是否存在“分界線”？若存在，請(qǐng)加以證明，并求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

(Ⅰ) -2  (Ⅱ)  見(jiàn)解析 （Ⅲ）見(jiàn)解析

解析:

（Ⅰ）∵，∴．……1分

       令，解得：，令，解得：，…………………2分

∴函數(shù)在上遞增，上遞減，∴．……4分                  

   （Ⅱ）證明：由（1）知是函數(shù)極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn)， ∴，

即，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）…………5分

   令得：， 取，

則，………………………………………………7分

∴，

    迭加得…………8分

（Ⅲ）設(shè)，

則．

∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增．

∴是函數(shù)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，∴

∴函數(shù)與的圖象在處有公共點(diǎn)．………………9分

設(shè)與存在 “分界線”且方程為：．

令函數(shù)，

ⅰ）由在恒成立，

即在上恒成立，

∴成立，

∴，故．……………………………………11分

ⅱ）下面再證明：恒成立．

 設(shè)，則．

 ∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，．函數(shù)單調(diào)遞減．

 ∴時(shí)取得最大值0，則成立．…………13分

綜上�。┖廷ⅲ┲�：且，

故函數(shù)與存在分界線為，此時(shí)．…………14分

另解：令則，探究得兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)為，

      設(shè)存在“分界線”且為：，令函數(shù)，

     再證：恒成立；恒成立。。。。。證法同上�。┖廷ⅲ�．