Question

【題目】若函數(shù)f（x）=x﹣ sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（　�。�
A.[﹣1，1]
B.[﹣1， ]
C.[﹣ ， ]
D.[﹣1，﹣ ]

Answer 1

【答案】C
【解析】解：函數(shù)f（x）=x﹣ sin2x+asinx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1﹣ cos2x+acosx，
由題意可得f′（x）≥0恒成立，即為1﹣ cos2x+acosx≥0，即有 ﹣ cos2x+acosx≥0，
設(shè)t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，
當(dāng)t=0時(shí)，不等式顯然成立；
當(dāng)0＜t≤1時(shí)，3a≥4t﹣ ，由4t﹣ 在（0，1]遞增，可得t=1時(shí)，取得最大值﹣1，可得3a≥﹣1，即a≥﹣ ；當(dāng)﹣1≤t＜0時(shí)，3a≤4t﹣ ，由4t﹣ 在[﹣1，0）遞增，可得t=﹣1時(shí)，取得最小值1，可得3a≤1，即a≤ ．綜上可得a的范圍是[﹣ ， ]．
故選：C．
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．