【題目】(2017·太原市模擬題)已知a,b,c分別是△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊,a=2bcosB,b≠c.
(1)證明:A=2B;
(2)若a2+c2=b2+2acsinC,求A.
【答案】(1)詳見解析;(2).
【解析】試題分析:(1)由,及,可得,根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理,即可證明成立;(2)由,根據(jù)余弦定理得,由此可得或,再根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì),可求得.
試題解析:(1)∵a=2bcosB,且,∴sinA=2sinBcosB=sin2B,
∵0<A<π,0<B<π,∴sinA=sin2B>0,∴0<2B<π,
∴A=2B或A+2B=π.
若A+2B=π,則B=C,b=c,這與“b≠c”矛盾,∴A+2B≠π,
∴A=2B.
(2)∵a2+c2=b2+2acsinC,∴=sinC,
由余弦定理得cosB=sinC,
∵0<B<π,0<C<π,∴C=-B或C=+B.
①當(dāng)C=-B時(shí),由A=2B且A+B+C=π,得A=,B=C=,這與“b≠c”矛看,∴A≠;
②當(dāng)C=+B時(shí),由A=2B且A+B+C=A+2B+=2A+=π,得A=,B=,C=,
∴A=.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為, ,直線交橢圓于, 兩點(diǎn), 的周長(zhǎng)為16, 的周長(zhǎng)為12.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率;
(2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn),且是線段的中點(diǎn),求直線的一般方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某人為研究中學(xué)生的性別與每周課外閱讀量這兩個(gè)變量的關(guān)系,隨機(jī)抽查了100名中學(xué)生,得到頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].
(Ⅰ)假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替,試估計(jì)樣本中的100名學(xué)生周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù).
(Ⅱ)在樣本數(shù)據(jù)中,有20位女生的每周課外閱讀時(shí)間超過4小時(shí),15位男生的每周課外閱讀時(shí)間沒有超過4小時(shí).請(qǐng)畫出每周課外閱讀時(shí)間與性別列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“該校學(xué)生的每周課外閱讀時(shí)間與性別有關(guān)”.
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面α與棱AB,AC,A1C1,A1B1分別交于點(diǎn)E,F(xiàn),G,H,且直線AA1∥平面α.有下列三個(gè)命題:①四邊形EFGH是平行四邊形;②平面α∥平面BCC1B1;③平面α⊥平面BCFE.其中正確的命題有( )
A. ①② B. ②③
C. ①③ D. ①②③
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2018·日照一模)如圖所示,ABCD-A1B1C1D1是長(zhǎng)方體,O是B1D1的中點(diǎn),直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M,給出下列結(jié)論:
①A、M、O三點(diǎn)共線;②A、M、O、A1不共面;③A、M、C、O共面;④B、B1、O、M共面.
其中正確結(jié)論的序號(hào)為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知{an}是等差數(shù)列,{bn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且b1=a1=1,b3=a4,b1+b2+b3=a3+a4.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)cn=anbn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果x∈D,y∈D,使得f(x)=-f(y)成立,則稱函數(shù)f(x)為“Ω函數(shù)”.給出下列四個(gè)函數(shù):①y=sin x;②y=2x;③y=;④f(x)=ln x.則其中“Ω函數(shù)”共有( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a10=4a3,a4=3a1+7.
(1)求通項(xiàng)公式an;
(2)若bn=an-2an+2,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為 .以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與曲線交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)時(shí),求的值.
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