Question

【題目】在邊長為3的正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點，滿足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如圖（1）將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，連結(jié)A1B、A1P（如圖（2））．
（1）求證：A1E⊥平面BEP；
（2）求二面角B﹣A1P﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在圖（1）中，取BE的中點D，連結(jié)DF，

∵AE：EB=CF：FA=1：2，∴AF=AD=2，

而∠A=60°，∴△ADF為正三角形．

又AE=DE=1，∴EF⊥AD．

在圖（2）中，A1E⊥EF，BE⊥EF，

∴∠A1EB為二面角A1﹣EF﹣B的一個平面角，

由題設(shè)條件知此二面角為直二面角，∴A1E⊥平面BEP

（2）解：分別以EB、EF、EA1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，

則E（0，0，0），B（2，0，0），P（1， ，0），A1（0，0，1），

， ．

設(shè)面EA1P的法向量為 ，

則 ，取y=﹣1，得 =（ ，﹣1，0）；

設(shè)面BA1P的法向量為 ，

則 ，取y=1，得 =（ ，1，2 ）．

∴cos＜ ＞= = ，

∴二面角B﹣A1P﹣E的大小的余弦值為

【解析】（1）在圖（1）中，取BE的中點D，連結(jié)DF，由已知可得△ADF為正三角形．進一步得到EF⊥AD．在圖（2）中，可得A1E⊥EF，BE⊥EF，即∠A1EB為二面角A1﹣EF﹣B的一個平面角，由題設(shè)條件知此二面角為直二面角，可得A1E⊥平面BEP； （2）分別以EB、EF、EA1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，然后分別求出面EA1P與面BA1P的一個法向量，求出兩法向量所成角的余弦值得答案．