Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E: (a＞b＞0)的離心率為，焦距為2.

(1)求橢圓E的方程；

(2)如圖，動(dòng)直線(xiàn)l：y＝k1x－交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，C是橢圓E上一點(diǎn)，直線(xiàn)OC的斜率為k2，且k1k2＝.M是線(xiàn)段OC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且|MC|∶|AB|＝2∶3，⊙M的半徑為|MC|，OS，OT是⊙M的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為S，T.求∠SOT的最大值，并求取得最大值時(shí)直線(xiàn)l的斜率．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

試題分析：由橢圓焦距為 可得 ，由離心率為可得 ，根據(jù)可得 ，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線(xiàn)方程與所求橢圓方程聯(lián)立消去 ,可得 ，根據(jù)韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式可得可求出 的長(zhǎng)，從而求出圓的半徑，可得到 斜率，設(shè)出直線(xiàn)的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出 點(diǎn)坐標(biāo)，可得 的長(zhǎng)，可求得 ，求出 的取值范圍，從而可得 的最大值，進(jìn)而可得結(jié)果.

試題解析：(1)由題意知e＝＝，2c＝2，所以a＝，b＝1，

所以橢圓E的方程為＋y2＝1.

(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

聯(lián)立方程得(4k＋2)x2－4k1x－1＝0.

由題意知Δ＞0，且x1＋x2＝，x1x2＝－，

所以|AB|＝|x1－x2|

＝.

由題意可知圓M的半徑r為

r＝|AB|＝.

由題設(shè)知k1k2＝，所以k2＝，

因此直線(xiàn)OC的方程為y＝x.

聯(lián)立方程

得x2＝，y2＝，

因此|OC|＝＝.

由題意可知sin＝＝，

而＝

＝，

令t＝1＋2k，則t＞1，∈(0,1)，

因此＝＝

＝≥1，

當(dāng)且僅當(dāng)＝，即t＝2時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)k1＝±，

所以sin≤，因此≤，

所以∠SOT的最大值為.

綜上所述：∠SOT的最大值為，取得最大值時(shí)直線(xiàn)l的斜率為k1＝±.