Question

【題目】對(duì)于三個(gè)實(shí)數(shù)、、，若成立，則稱、具有“性質(zhì)”.

（1）試問(wèn)：①，0是否具有“性質(zhì)2”；

②（），0是否具有“性質(zhì)4”；

（2）若存在及，使得成立，且

，1具有“性質(zhì)2”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)，，，為2019個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)，點(diǎn)（）

均不在函數(shù)的圖象上，是否存在，且，使得、

具有“性質(zhì)2018”，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）①具有“性質(zhì)2”，②不具有“性質(zhì)4”；（2）；（3）存在.

【解析】

（1）①根據(jù)題意需要判斷的真假即可② 根據(jù)題意判斷是否成立即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)具有性質(zhì)2可求出的范圍，由存在性問(wèn)題成立轉(zhuǎn)化為 ，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值即可求解.

（1）①因?yàn)?/span>，成立,

所以，故，0具有“性質(zhì)2”

②因?yàn)?/span>，設(shè)，則

設(shè)，

對(duì)稱軸為，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，不恒成立，

即不成立，

故（），0不具有“性質(zhì)4”.

（2）因?yàn)?/span>，1具有“性質(zhì)2”

所以

化簡(jiǎn)得

解得或 .

因?yàn)榇嬖?/span>及，使得成立，

所以存在 及使 即可.

令，則，

當(dāng)時(shí)，，

所以在上是增函數(shù)，

所以時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

故時(shí)，

因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，

所以，

故只需滿足即可，解得.

（3）假設(shè)具有“性質(zhì)2018”，則，

即證明在任意2019個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)中，一定存在兩個(gè)實(shí)數(shù),滿足：

.

證明：

由，

令，由萬(wàn)能公式知，

將等分成2018個(gè)小區(qū)間，則這2019個(gè)數(shù)必然有兩個(gè)數(shù)落在同一個(gè)區(qū)間，令其為：，即，

也就是說(shuō)，在，，，這2019個(gè)數(shù)中，一定有兩個(gè)數(shù)滿足，

即一定存在兩個(gè)實(shí)數(shù)，滿足，

從而得證.