已知函數(shù)．

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）設(shè)，如果過點可作曲線的三條切線，證明：．

 

【答案】

（1）（2）根據(jù)已知函數(shù)求解導(dǎo)數(shù)，進一步分析方程有三個實數(shù)根來分析得到證明。

【解析】

試題分析：解：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；．

曲線在點處的切線方程為：，即．

（2）如果有一條切線過點，則存在，使．

于是，若過點可作曲線的三條切線，則方程

有三個相異的實數(shù)根．記 ，則 ．

當(dāng)變化時，變化情況如下表：

0

0

0

極大值

極小值

 

綜上，如果過可作曲線三條切線，即有三個相異的實數(shù)根，則

即 ．

考點：導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用

點評：解決該試題的關(guān)鍵是對于導(dǎo)數(shù)的幾何意義的運用，以及能結(jié)合方程根問題求解a,b的不等關(guān)系式。屬于基礎(chǔ)題。

 

練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的定義域 ；

（2）若函數(shù)的最小值為，求實數(shù)的值．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年人教版高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)．
（1）求f（x）的定義域和值域；
（2）證明函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年上海市奉賢區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)；
（1）求出函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負(fù)數(shù)x，使得成立，若存在求出x；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆浙江省高二下期中數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)令

（1）求的定義域；

（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并予以證明；

（3）若，猜想之間的關(guān)系并證明.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年北京市高三入學(xué)測試數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知函數(shù) ，

  （1）求函數(shù)的定義域；（2）證明：是偶函數(shù)；

  （3）若，求的取值范圍。

 

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