Question

【題目】設(shè){an}是首項(xiàng)為a，公差為d的等差數(shù)列（d≠0），Sn是其前n項(xiàng)和．記bn= ，n∈N* ， 其中c為實(shí)數(shù)．
（1）若c=0，且b1 ， b2 ， b4成等比數(shù)列，證明：Snk=n2Sk（k，n∈N*）；
（2）若{bn}是等差數(shù)列，證明：c=0．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：若c=0，則an=a1+（n﹣1）d， ， ．

當(dāng)b1，b2，b4成等比數(shù)列時(shí)，則 ，

即： ，得：d2=2ad，又d≠0，故d=2a．

因此： ， ， ．

故： （k，n∈N*）．

（2）

證明：

=

= ． ①

若{bn}是等差數(shù)列，則{bn}的通項(xiàng)公式是bn=An+B型．

觀察①式后一項(xiàng)，分子冪低于分母冪，

故有： ，即 ，而 ，

故c=0．

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)c=0時(shí){bn}是等差數(shù)列．

【解析】（1）寫(xiě)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式，由b1 ， b2 ， b4成等比數(shù)列得到首項(xiàng)和公差的關(guān)系，代入前n項(xiàng)和公式得到Sn ， 在前n項(xiàng)和公式中取n=nk可證結(jié)論；
（2）把Sn代入 中整理得到bn= ，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=An+B的形式，說(shuō)明 ，由此可得到c=0．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和等比關(guān)系的確定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握前n項(xiàng)和公式：；等比數(shù)列可以通過(guò)定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和法進(jìn)行判斷才能正確解答此題．