Question

【題目】

已知函數(shù)，。

（1）若函數(shù)在處的切線與函數(shù)在處的切線互相平行，求實數(shù)的值；

（2）設(shè)函數(shù)。

（ⅰ）當(dāng)實數(shù)時，試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；

（ⅱ）如果是的兩個零點，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，證明：。

Answer 1

【答案】(1);(2)(i)函數(shù)在上單調(diào)遞減.(ii)見解析。

【解析】

試題分析：（1）分別求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得，，由求出即可；（2）（i）由 及可得在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減；（ii）由是的兩個零點，可得，，從而有，即，所以，構(gòu)造函數(shù)，討論其單調(diào)性可得，又，從而證得結(jié)論成立。

試題解析：（1）由，得，在處切線互相平行時，切線斜率相等，于是，。

（2）（1）

易知在上單調(diào)遞減，

∴當(dāng)時，

當(dāng)時，在上恒成立。

∴當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減。

（2）因為是的兩個零點，故①

②，由②-①得：

解得

因為，

將代入得

設(shè)，構(gòu)造，，

∵，，∴，

∴在單調(diào)增且，∴，又

∴。