【題目】設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞),對(duì)于任意正實(shí)數(shù)m,n恒有f(mn)=f(m)+f(n),且當(dāng)x>1時(shí),f(x)>0,f(2)=1.
(1)求 的值;
(2)求證:f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);
(3)求方程4sinx=f(x)的根的個(gè)數(shù).
【答案】
(1)解:令m=n=1,則f(1)=f(1)+f(1),
∴f(1)=0
令 ,則 ,
∴
(2)解:設(shè)0<x1<x2,則
∵當(dāng)x>1時(shí),f(x)>0
∴
所以f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)
(3)解:∵y=4sinx的圖象如右圖所示
又f(4)=f(2×2)=2,f(16)=f(4×4)=4
由y=f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
且f(1)=0,f(16)=4可得y=f(x)的圖象大致形狀如右圖所示,
由圖象在[0,2π]內(nèi)有1個(gè)交點(diǎn),
在(2π,4π]內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn),
在(4π,5π]內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn),又5π<16<6π,
后面y=f(x)的圖象均在y=4sinx圖象的上方.
故方程4sinx=f(x)的根的個(gè)數(shù)為5個(gè)
【解析】(1)利用賦值法,對(duì)于任意正實(shí)數(shù)m,n恒有f(mn)=f(m)+f(n),可令m=n=1,先求出f(1),然后令 ,即可求出 的值;(2)先在定義域內(nèi)任取兩個(gè)值x1 , x2 , 并規(guī)定大小,然后判定出f(x1),與f(x2)的大小關(guān)系,根據(jù)單調(diào)增函數(shù)的定義可知結(jié)論;(3)分別畫(huà)出y=4sinx的圖象與y=f(x)的圖象,結(jié)合圖象以及函數(shù)的單調(diào)性判定出交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)單調(diào)性的判斷方法,需要了解單調(diào)性的判定法:①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大;③作差比較或作商比較才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列命題:
①命題“x∈R,x2+x+1=0”的否定是“x∈R,x2+x+1≠0”;
②若A={x|x>0},B={x|x≤﹣1},則A∩(RB)=A;
③函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)是偶函數(shù)的充要條件是φ=kπ+ (k∈Z);
④若非零向量 , 滿足 =λ , =λ (λ∈R),則λ=1.
其中正確命題的序號(hào)有
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線l與圓C:x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A,B兩點(diǎn),弦AB的中點(diǎn)為M(0,1).
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍以及直線l的方程;
(2)若圓C上存在動(dòng)點(diǎn)N使CN=2MN成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(2,t)(t>0).
(1)若過(guò)點(diǎn)P(0,4 )的直線l與圓C:x2+y2﹣8x=0相切,求直線l的方程;
(2)求以O(shè)M為直徑且被直線3x﹣4y﹣5=0截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程;
(3)設(shè)A(1,0),過(guò)點(diǎn)A作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N,求證:線段ON的長(zhǎng)為定值,并求出這個(gè)定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線l過(guò)點(diǎn)M(1,2),且直線l與x軸正半軸和y軸的正半軸交點(diǎn)分別是A、B,(如圖,注意直線l與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在正半軸上)
(1)若三角形AOB的面積是4,求直線l的方程.
(2)求過(guò)點(diǎn)N(0,1)且與直線l垂直的直線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)一位高三班主任對(duì)本班50名學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和對(duì)待班級(jí)工作的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查,得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示:
積極參加班級(jí)工作 | 不積極參加班級(jí)工作 | 合計(jì) | |
學(xué)習(xí)積極性高 | 18 | 7 | 25 |
學(xué)習(xí)積極性不高 | 6 | 19 | 25 |
合計(jì) | 24 | 26 | 50 |
(1)如果隨機(jī)調(diào)查這個(gè)班的一名學(xué)生,那么抽到不積極參加班級(jí)工作且學(xué)習(xí)積極性不高的學(xué)生的概率是多少?
(2)若不積極參加班級(jí)工作且學(xué)習(xí)積極性高的7名學(xué)生中有兩名男生,現(xiàn)從中抽取2名學(xué)生參加某項(xiàng)活動(dòng),問(wèn)2名學(xué)生中有1名男生的概率是多少?
(3)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與對(duì)待班級(jí)工作的態(tài)度是否有關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由.
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知a≠0,集合A={x|x2﹣x﹣6<0},B={x|x2+2x﹣8≥0},C={x|x2﹣4ax+3a2<0},且C(A∩RB).求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,△ABC是等邊三角形,D是AC的中點(diǎn),PA=PC,二面角P﹣AC﹣B的大小為60°;
(1)求證:平面PBD⊥平面PAC;
(2)求AB與平面PAC所成角的正弦值.
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