如圖，已知橢圓C：，A、B是四條直線x=±2，y=±1所圍成的兩個頂點．
（1）設(shè)P是橢圓C上任意一點，若，求證：動點Q（m，n）在定圓上運動，并求出定圓的方程；
（2）若M、N是橢圓C上兩個動點，且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求△OMN的面積是否為定值，說明理由．

【答案】分析：（1）設(shè)P的坐標，通過，推出m，n與P的坐標的關(guān)系，推出定圓的方程．
（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），利用直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，得到x1，x2的關(guān)系．求出MN的距離以及O到直線MN的距離，然后證明△OMN的面積是否為定值．
解答：解：（1）易求A（2，1），B（-2，1）．…（2分）
設(shè)P（x，y），則．由，得，
所以，即．故點Q（m，n）在定圓上．…（8分）
（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則．
平方得，即．…（10分）
因為直線MN的方程為（x2-x1）y-（y2-y1）x+x1y2-x2y1=0，
所以O(shè)到直線MN的距離為，…（12分）
所以△OMN的面積S=MN•l=|x1y2-x2y1|=
==．
故△OMN的面積為定值1．…（16分）
點評：本題考查圓的方程的求法，點到直線的距離公式，弦長公式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想計算能力．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點和上頂點分別為F1、F2、B，我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形．如果兩個橢圓的特征三角形是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為橢圓的相似比．
（1）已知橢圓C1：
x2
4
+y2=1和C2：
x2
16
+
y2
4
=1，判斷C2與C1是否相似，如果相似則求出C2與C1的相似比，若不相似請說明理由；
（2）已知直線l：y=x+1，在橢圓Cb上是否存在兩點M、N關(guān)于直線l對稱，若存在，則求出函數(shù)f（b）=|MN|的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
b2
+
y2
a2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1（0，c）、F2（0，-c）（c＞0），拋物線P：x2=2py（p＞0）的焦點與F1重合，過F2的直線l與拋物線P相切，切點E在第一象限，與橢圓C相交于A、B兩點，且
F2B
=λ
AF2
．
（1）求證：切線l的斜率為定值；
（2）若動點T滿足：
ET
=μ(
EF1
+
EF2
)，μ∈(0，
1
2
)，且
ET
•
OT
的最小值為-
5
4
，求拋物線P的方程；
（3）當λ∈[2，4]時，求橢圓離心率e的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，F(xiàn)1、F2分別為橢圓C的左、右焦點，A（0，b），且
F1A
•
F2A
=-2過左焦點F1作直線l交橢圓于P1、P2兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l的傾斜角a∈[
π
3
，
2π
3
]，直線OP1，OP2與直線x=-
4
3
3
分別交于點S、T，求|ST|的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點為F1（1，0）、F2（-1，0），離心率為
2
2
，過點A（2，0）的直線l交橢圓C于M、N兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）①求直線l的斜率k的取值范圍；
②在直線l的斜率k不斷變化過程中，探究∠MF1A和∠NF1F2是否總相等？若相等，請給出證明，若不相等，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•梅州一模）如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的上頂點為A，右焦點為F，直線AF與圓M：x2+y2-6x-2y+7=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）不過點A的動直線l與橢圓C相交于PQ兩點，且
AP
•
AQ
=0．求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．

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同步練習冊答案