【題目】如圖，已知 是上、下底邊長(zhǎng)分別為2和6，高為 的等腰梯形，將它沿對(duì)稱軸 折疊，使二面角 為直二面角.

（1）證明： ；
（2）求二面角 的正弦值.

【答案】
（1）證明：由題設(shè)知OA⊥OO1 ， OB⊥OO1 ， 所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB從而AO⊥平面OBCO1 ， OC是AC在面OBCO1內(nèi)的射影
因?yàn)閠an∠OO1A= = ，tan∠O1OC= = ，所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，從而OC⊥BO1由三垂線定理得AC⊥BO1
（2）解：由（1）AC⊥BO1 ， OC⊥BO1 ， 知BO1⊥平面AOC
設(shè)OC∩O1B=E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC于F，連結(jié)O1F（如圖），

則EF是O1F在平面AOC 內(nèi)的射影，由三垂線定理得O1F⊥AC所以∠O1FE是二面角O﹣AC﹣O1的平面角
由題設(shè)知OA=3，OO1= ，O1C=1，
所以 =2 ，AC= = ，從而 = ，
又O1E=OO1sin30°= ，所以sin∠O1FE= = ，∴二面角O﹣AC﹣O1的正弦值為 ．
【解析】(1)根據(jù)題意結(jié)合已知條件可得出∠AOB是所折成的直二面角的平面角，進(jìn)而得出OA⊥OB再由線面垂直的判定定理可得AO⊥平面OBCO1 ， 結(jié)合直角三角形的特點(diǎn)分別求出兩個(gè)角的正切值，從而得到兩個(gè)角的大小。(2) 由已知作出輔助線利用三垂線定理可得出∠O1FE是二面角O﹣AC﹣O1的平面角，利用勾股定理以及解三角形的知識(shí)求出其正弦值。

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的離心率為 ，其左、右焦點(diǎn)為F1、F2 ， 點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且|OP|= ， = ，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)S（0，﹣ ）的動(dòng)直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=e2x+1﹣2mx﹣ m，其中m∈R，e為自然對(duì)數(shù)底數(shù)．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若不等式f（x）≥n對(duì)任意x∈R都成立，求mn的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】里約熱內(nèi)盧奧運(yùn)會(huì)正在如火如荼的進(jìn)行，奧運(yùn)會(huì)紀(jì)念品銷售火爆，已知某種紀(jì)念品的單價(jià)是5元，買x（x∈{1,2,3,4,5}）件該紀(jì)念品需要y元．試用函數(shù)的三種表示法表示函數(shù)y＝f（x）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù) ，a為正常數(shù)．
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且 ，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且對(duì)任意x1 ， x2∈（0，2]，x1≠x2 ， 都有 ，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn ， 且Sn+ an=1（n∈N*）
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=﹣log3（1﹣Sn），設(shè)Cn= ，求數(shù)列{Cn}的前n項(xiàng)的和Tn ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù) ，且 .
（1）試求 的值；
（2）用定義證明函數(shù) 在 上單調(diào)遞增；
（3）設(shè)關(guān)于 的方程 的兩根為 ，試問(wèn)是否存在實(shí)數(shù) ，使得不等式 對(duì)任意的 及 恒成立？若存在，求出 的取值范圍；若不存在說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）對(duì)任意x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓C1 ， 拋物線C2的焦點(diǎn)均在x軸上，C1的中心和C2的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)O，從每條曲線上各取兩個(gè)點(diǎn)，其坐標(biāo)分別是（3，一2 ），（一2，0），（4，一4），（ ）． （Ⅰ）求C1 ， C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）是否存在直線L滿足條件：①過(guò)C2的焦點(diǎn)F；②與C1交與不同的兩點(diǎn)M，N且滿足 ？若存在，求出直線方程；若不存在，說(shuō)明理由．

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