Question

已知點(diǎn)C為圓（x+1）²+y²=8的圓心，點(diǎn)A（1，0），P是圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q在圓的半徑CP上，且．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，求點(diǎn)Q的軌跡方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)（0，2）且斜率為2的直線l與（1）中所求的曲線交于B，D兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△BDO的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）把題中條件轉(zhuǎn)化為MQ是線段AP的垂直平分線，得出點(diǎn)Q的軌跡是以點(diǎn)C和點(diǎn)A為焦點(diǎn)，半焦距c=1，長半軸的a=的橢圓即可點(diǎn)Q的軌跡方程；
（2）求出（0，0）到直線L的距離以及利用弦長公式求出|BD|的長即可求△BDO的面積．
解答：解：（1）由題得，MQ是線段AP的垂直平分線，故|QC|+|QA|=|QC|+|QP|=|CP|=2＞|CA|=2，
于是點(diǎn)Q的軌跡是以點(diǎn)C和點(diǎn)A為焦點(diǎn)，半焦距c=1，長半軸的a=的橢圓，短半軸b==1．
所以點(diǎn)Q的軌跡方程是：=1．．
（2）因直線L過點(diǎn)（0，2）且斜率為2，則直線方程為y=2x+2，即2x-y+2=0．
故點(diǎn)（0，0）到直線L的距離d==．．
把y=2x+2代入（1）中的方程+y²=1，化簡得9x²+16x+6=0．△=16²-4×9×6=40＞0
．設(shè)B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則x₁+x₂=-，x₁•x₂=．
∴|BD|=|x₁-x₂|=]=．
故△BDO的面積S_△BOD=•|BD|•d=．
點(diǎn)評：在求動點(diǎn)的軌跡方程問題時，一般是利用條件找到動點(diǎn)所在曲線或找到關(guān)于動點(diǎn)坐標(biāo)的等式，可得動點(diǎn)的軌跡方程．