Question

已知數(shù)列滿足（為常數(shù)），成等差數(shù)列.

（Ⅰ）求p的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足，證明：.

Answer 1

解：（Ⅰ）由

得

∵成等差數(shù)列，

∴

即得………………………………………（2分）

依題意知，

當(dāng)時(shí)，

…

相加得

∴

∴……………………………………………………………（4分）

又適合上式， ………………………………………………………（5分）

故……………………………………………………………………（6分）

（Ⅱ）證明：∵∴

∵ …………………（8分）

若則

即當(dāng)時(shí)，有…………………………………………………（10分）

又因?yàn)?sub>………………………………………………………（11分）

故……………………………………………………………………（12分）

（Ⅱ）法二：要證

    只要證…………………………………………………………（7分）

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)時(shí)，左邊=12，右邊=9，不等式成立；

  當(dāng)時(shí)，左邊=36，右邊=36，不等式成立.…………………………（8分）

②假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立. …………………（9分）

則當(dāng)時(shí)，左邊=4×3^k+1=3×4×3^k≥3×9k²，

要證3×9k²≥9（k+1）² ，

只要正3k²≥（k+1）² ，

即證2k²-2k-1≥0.…………………………………………………………（10分）

而當(dāng)k即且時(shí)，上述不等式成立.………………（11分）

由①②可知，對(duì)任意，所證不等式成立.…