【題目】設(shè)橢圓)的左、右焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為.已知

1)求橢圓的離心率;

2)設(shè)為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn),以線段為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn),經(jīng)過原點(diǎn)的直線與該圓相切,求直線的斜率.

【答案】1;(2)直線的斜率為

【解析】試題(1)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,由已知,可得,結(jié)合,可得,從而可求得橢圓的離心率;(2)在(1)的基礎(chǔ)上,可先利用及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出點(diǎn)的坐標(biāo),再求出以線段為直徑的圓的方程(圓心坐標(biāo)和半徑),最后設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)的與該圓相切的直線的方程為,由圓心到切線的距離等于半徑,列方程,解方程即可得求得直線的斜率.

1)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.由,可得,又,則,橢圓的離心率

2)由(1)知,故橢圓方程為.設(shè).由,有.由已知,有,即.又,故有

點(diǎn)在橢圓上,故

可得.而點(diǎn)不是橢圓的頂點(diǎn),故,代入,即點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)圓的圓心為,則,,進(jìn)而圓的半徑.設(shè)直線的斜率為,依題意,直線的方程為.由與圓相切,可得,即,整理得,解得直線的斜率為

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(1)求圓的極坐標(biāo)方程;

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