Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=alnx+x2（a為實(shí)常數(shù)）．
（Ⅰ）若a=﹣2，求證：函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值及相應(yīng)的x值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當(dāng)a=﹣2時(shí)，f（x）=x2﹣2lnx，當(dāng)x∈（1，+∞）， ，

故函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．

（Ⅱ） ，當(dāng)x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．

若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非負(fù)（僅當(dāng)a=﹣2，x=1時(shí)，f'（x）=0），

故函數(shù)f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，此時(shí)[f（x）]min=f（1）=1．

若﹣2e2＜a＜﹣2，當(dāng) 時(shí)，f'（x）=0；當(dāng) 時(shí)，f'（x）＜0，

此時(shí)f（x）是減函數(shù)；當(dāng) 時(shí)，f'（x）＞0，此時(shí)f（x）是增函數(shù)．

故[f（x）]min= =

若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（僅當(dāng)a=﹣2e2，x=e時(shí)，f'（x）=0），

故函數(shù)f（x）在[1，e]上是減函數(shù)，此時(shí)[f（x）]min=f（e）=a+e2．

綜上可知，當(dāng)a≥﹣2時(shí)，f（x）的最小值為1，相應(yīng)的x值為1；

當(dāng)﹣2e2＜a＜﹣2時(shí)，f（x）的最小值為 ，相應(yīng)的x值為 ；

當(dāng)a≤﹣2e2時(shí)，f（x）的最小值為a+e2，相應(yīng)的x值為e

【解析】（Ⅰ）將a=﹣2代入，然后求出導(dǎo)函數(shù)f'（x），欲證函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)只需證導(dǎo)函數(shù)在（1，+∞）上恒大于零即可；（Ⅱ）先求出導(dǎo)函數(shù)f'（x），然后討論a研究函數(shù)在[1，e]上的單調(diào)性，將f（x）的各極值與其端點(diǎn)的函數(shù)值比較，其中最小的一個(gè)就是最小值．
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．