【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的焦距為2,且離心率為 .
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若經(jīng)過點(diǎn)(0, )且斜率為k的直線l與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q. (Ⅰ)求k的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)橢圓C與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A,B,是否存在常數(shù)k,使得向量 與 共線?如果存在,求k值;如果不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】
(1)解:由已知可得橢圓方程為 ,
且2c=2, ,∴c=1,a= ,b2=a2﹣c2=1,
∴橢圓方程為: ;
(2)解:(Ⅰ)由已知條件,直線l的方程為 ,
代入橢圓方程得 .
整理得 ,①
直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于 ,
解得 或 .
即k的取值范圍為 ;
(Ⅱ)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
則 ,
由方程①,得 .②
又 .③
而 .
∴ 與 共線等價(jià)于 ,
將②③代入上式,解得 .
由(1)知 或 ,
故沒有符合題意的常數(shù)k
【解析】(1)由題意設(shè)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,且求得c,a的值,結(jié)合隱含條件求得b,則橢圓方程可求;(2)(Ⅰ)寫出直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,利用判別式大于0求得k的范圍;(Ⅱ)利用根與系數(shù)的關(guān)系求出P,Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的和,結(jié)合 與 共線求得k值,與(1)中求出的k的范圍矛盾.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件,測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,由測(cè)量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表:
質(zhì)量指標(biāo)值分組 | [75,85) | [85,95) | [95,105) | [105,115) | [115,125) |
頻數(shù) | 6 | 26 | 38 | 22 | 8 |
(1)作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;
(2)估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù),能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),( )是偶函數(shù).
(1)求的值;
(2)設(shè)函數(shù),其中.若函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)定義域?yàn)?/span>若在上單調(diào)遞減,則稱為函數(shù)的峰點(diǎn), 為含峰函數(shù).(特別地,若在上單調(diào)遞增或遞減,則峰點(diǎn)為1或0).
對(duì)于不易直接求出峰點(diǎn)的含峰函數(shù),可通過做試驗(yàn)的方法給出的近似值,試驗(yàn)原理為:“對(duì)任意的若則為含峰區(qū)間,此時(shí)稱為近似峰點(diǎn);若則為含峰區(qū)間,此時(shí)稱為近似峰點(diǎn)”.
我們把近似峰點(diǎn)與之間可能出現(xiàn)的最大距離稱為試驗(yàn)的“預(yù)計(jì)誤差”,記為,其值為其中表示中較大的數(shù)
(Ⅰ)若求此試驗(yàn)的預(yù)計(jì)誤差;
(Ⅱ)如何選取才能使這個(gè)試驗(yàn)方案的預(yù)計(jì)誤差達(dá)到最小?并證明你的結(jié)論(只證明的取值即可).
(Ⅲ)選取可以確定含峰區(qū)間為或在所得的含峰區(qū)間內(nèi)選取,由與或與類似地可以進(jìn)一步得到一個(gè)新的預(yù)計(jì)誤差.分別求出當(dāng)和時(shí)預(yù)計(jì)誤差的最小值.(本問只寫結(jié)果,不必證明)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且Sn=2﹣an , n∈N* , 設(shè)函數(shù)f(x)=log x,數(shù)列{bn}滿足bn=f(an),記{bn}的前n項(xiàng)和為Tn . (Ⅰ)求an及Tn;
(Ⅱ)記cn=anbn , 求cn的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= (a<0)的定義域?yàn)镈,若所有點(diǎn)(s,f(t)(s,t∈D)構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域,則a的值為( )
A.﹣2
B.﹣4
C.﹣8
D.不能確定
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ax2﹣bx(a,b∈R),g(x)= ﹣lnx.
(1)當(dāng)a=﹣1時(shí),f(x)與g(x)在定義域上的單調(diào)性相反,求b的取值范圍;
(2)當(dāng)a,b都為0時(shí),斜率為k的直線與曲線y=f(x)交A(x1 , y1),B(x2 , y2)(x1<x2)于兩點(diǎn),求證:x1< .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)命題p:實(shí)數(shù)x滿足(x﹣a)(x﹣3a)<0,其中a>0,命題q:實(shí)數(shù)x滿足 2<x≤3.
(1)若a=1,有p且q為真,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.
(2)若p是q的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 =1(a>b>0)右頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的距離為 ﹣1,短軸長(zhǎng)為2 . (Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過左焦點(diǎn)F的直線與橢圓分別交于A、B兩點(diǎn),若△OAB(O為直角坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為 ,求直線AB的方程.
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