Question

（本題滿分14分）設(shè),函數(shù)．
（Ⅰ）證明:存在唯一實(shí)數(shù)，使；
（Ⅱ）定義數(shù)列:,,．
（i）求證:對(duì)任意正整數(shù)n都有；
(ii) 當(dāng)時(shí),若，
證明:當(dāng)k時(shí)，對(duì)任意都有:

Answer 1

（Ⅰ）證明：略

（Ⅰ）證明: ①.       ………1分
令,則,,
∴.                               ………………………………… 2分
又,∴是R上的增函數(shù).    …………………… 3分
故在區(qū)間上有唯一零點(diǎn),
即存在唯一實(shí)數(shù)使.          ………………………………… 4分
②當(dāng)時(shí),,,由①知,即成立；…… 5分
設(shè)當(dāng)時(shí),,注意到在上是減函數(shù),且,
故有:,即
∴,                   ………………………………… 7分
即.這就是說(shuō),時(shí),結(jié)論也成立.
故對(duì)任意正整數(shù)都有:.            ………………………………… 8分
(2)當(dāng)時(shí),由得:,     ……………… 9分
………10分
當(dāng)時(shí),,
∴
    ………………………………… 12分
對(duì),
   ………………………………… 13分
    ………………… 14分