【題目】已知橢圓的離心率為,過左焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)點(diǎn)為橢圓的長(zhǎng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn),證明:為定值.
【答案】(1)(2)詳見解析
【解析】
試題分析:(1)過左焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為通徑長(zhǎng),即,又離心率為,得,再由,解方程組得(2)解析幾何中證明定值問題,一般方法為以算代證,因?yàn)?/span>,利用,消y得,再聯(lián)立直線方程與橢圓方程,結(jié)合韋達(dá)定理,代入化簡(jiǎn)得定值41
試題解析:(1)由,可得橢圓方程..........4分
(2)設(shè)的方程為,代入并整理得:
.....................6分
設(shè),則,
又因?yàn)?/span>,同理..............8分
則,
所以是定值.................................12分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線:與直線()交于,兩點(diǎn).
(1)當(dāng)時(shí),分別求在點(diǎn)和處的切線方程;
(2)軸上是否存在點(diǎn),使得當(dāng)變動(dòng)時(shí),總有?說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,四棱錐中,四邊形是直角梯形, 底面, 為的中點(diǎn), 點(diǎn)在上,且.
(1)證明: 平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校課題組為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與學(xué)生細(xì)心程度的關(guān)系,在本校隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生進(jìn)行研究.研究結(jié)果表明:在數(shù)學(xué)成績(jī)及格的60名學(xué)生中有45人比較細(xì)心,另外15人比較粗心;在數(shù)學(xué)成績(jī)不及格的40名學(xué)生中有10人比較細(xì)心,另外30人比較粗心.
(1)試根據(jù)上述數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表;
數(shù)學(xué)成績(jī)及格 | 數(shù)學(xué)成績(jī)不及格 | 合計(jì) | |
比較細(xì)心 | 45 | ||
比較粗心 | |||
合計(jì) | 60 | 100 |
(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與細(xì)心程度有關(guān)系?
參考數(shù)據(jù):獨(dú)立檢驗(yàn)隨機(jī)變量的臨界值參考表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
,其中
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在各棱長(zhǎng)為的直四棱柱中,底面為棱形, 為棱上一點(diǎn),且
(1)求證:平面平面;
(2)平面將四棱柱分成上、下兩部分,求這兩部分的體積之比.
(棱臺(tái)的體積公式為,其中分別為上、下底面面積, 為棱臺(tái)的高)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)若在處的切線與直線平行,求的值;
(Ⅱ)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若函數(shù)的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn),線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值及最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)于函數(shù)有如下結(jié)論:
①該函數(shù)為偶函數(shù);
②若,則;
③其單調(diào)遞增區(qū)間是;
④值域是;
⑤該函數(shù)的圖象與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn).(本題中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
其中正確的是__________.(請(qǐng)把正確結(jié)論的序號(hào)填在橫線上)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形, 為的中點(diǎn).
(1)求證: 平面;
(2)若四邊形是正方形,且,求直線與平面所成角的正弦值.
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