【題目】已知在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),在極坐標系(以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸)中,曲線C2的方程為ρsin2θ=2pcosθ(p>0),曲線C1、C2交于A、B兩點.
(Ⅰ)若p=2且定點P(0,﹣4),求|PA|+|PB|的值;
(Ⅱ)若|PA|,|AB|,|PB|成等比數(shù)列,求p的值.
【答案】解:(Ⅰ)∵曲線C2的方程為ρsin2θ=2pcosθ(p>0),即為ρ2sin2θ=2pρcosθ(p>0),
∴曲線C2的直角坐標方程為y2=2px,p>2.
又已知p=2,∴曲線C2的直角坐標方程為y2=4x.
將曲線C1的參數(shù)方程 (t為參數(shù))與y2=4x聯(lián)立得: t+32=0,
由于△= ﹣4×32>0,
設(shè)方程兩根為t1,t2,
∴t1+t2=12 ,t1t2=32,
∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=12 .
(Ⅱ)將曲線C1的參數(shù)方程 (t為參數(shù))與y2=2px聯(lián)立得:t2﹣2 (4+p)t+32=0,
由于△= ﹣4×32=8(p2+8p)>0,
∴t1+t2=2 (4+p),t1t2=32,
又|PA|,|AB|,|PB|成等比數(shù)列,
∴|AB|2=|PA||PB,
∴ =|t1||t2|,
∴ =5t1t2,
∴ =5×32,
∴p2+8p﹣4=0,解得:p=﹣4 ,
又p>0,
∴p=﹣4+2 ,
∴當|PA|,|AB|,|PB|成等比數(shù)列時,p的值為﹣4+2
【解析】(Ⅰ)曲線C2的方程為ρsin2θ=2pcosθ(p>0),即為ρ2sin2θ=2pρcosθ(p>0),利用互化公式可得直角坐標方程.將曲線C1的參數(shù)方程 (t為參數(shù))與拋物線方程聯(lián)立得: t+32=0,可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|.(Ⅱ)將曲線C1的參數(shù)方程與y2=2px聯(lián)立得:t2﹣2 (4+p)t+32=0,又|PA|,|AB|,|PB|成等比數(shù)列,可得|AB|2=|PA||PB|,可得 =|t1||t2|,即 =5t1t2,利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c的圖象過點(﹣1,3),且關(guān)于直線x=1對稱
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若m<3,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[m,3]上的值域.
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【題目】如圖,P是直線x=4上一動點,以P為圓心的圓Γ經(jīng)定點B(1,0),直線l是圓Γ在點B處的切線,過A(﹣1,0)作圓Γ的兩條切線分別與l交于E,F(xiàn)兩點.
(1)求證:|EA|+|EB|為定值;
(2)證明:設(shè)直線l交直線x=4于點Q,證明:|EB||FQ|=|BF|EQ|.
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【題目】已知函數(shù)是偶函數(shù).
(1)求的值;
(2)若,求的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù),其中.若函數(shù)與的圖象有且只有一個交點,求的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x3﹣3x2﹣9x+1(x∈R).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(2)若f(x)﹣2a+1≥0對x∈[﹣2,4]恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則下列說法正確的( )
A.a∈(2,4),輸出的i的值為5
B.a∈(4,5),輸出的i的值為5
C.a∈(3,4),輸出的i的值為5
D.a∈(2,4),輸出的i的值為5
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【題目】為了解喜好體育運動是否與性別有關(guān),某報記者隨機采訪50個路人,將調(diào)查情況進行整理后制成下表:
年齡(歲) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75) |
頻數(shù) | 5 | 10 | 8 | 10 | 5 | 5 |
喜好人數(shù) | 4 | 6 | 6 | 3 | 3 |
(1)在調(diào)查的結(jié)果中,喜好體育運動的女性有10人,不喜好體育運動的男性有5人,請將下面的2×2列聯(lián)表補充完整,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為喜好體育運動與性別有關(guān)?說明你的理由;
喜好體育運動 | 不喜好體育運動 | 合計 | |
男生 | 5 | ||
女生 | 10 | ||
合計 | 50 |
(2)若從年齡在[15,25),[25,35)的被調(diào)查者中各隨機選取兩人進行追蹤調(diào)查,記選中的4人中不喜好體育運動的人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望. 下面的臨界值表供參考:
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d)
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【題目】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,S表示△ABC的面積,若acosB+bcosA=csinC,S= (b2+c2﹣a2),則∠B=( )
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且
(1)判斷△ABC的形狀,并加以證明;
(2)當c = 1時,求△ABC周長的最大值.
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