【題目】已知函數(shù)f(x)= ,直線y= x為曲線y=f(x)的切線(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,設(shè)函數(shù)g(x)=min{f(x),x﹣ }(x>0),若函數(shù)h(x)=g(x)﹣cx2為增函數(shù),求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)= 的導(dǎo)數(shù)為f′(x)= ,

設(shè)切點(diǎn)為(m,n),即有n= ,n= m,

可得ame=em,①

由直線y= x為曲線y=f(x)的切線,可得

= ,②

由①②解得m=1,a=1;


(2)解:函數(shù)g(x)=min{f(x),x﹣ }(x>0),

由f(x)= 的導(dǎo)數(shù)為f′(x)= ,

當(dāng)0<x<2時(shí),f(x)遞增,x>2時(shí),f(x)遞減.

對(duì)x﹣ 在x>0遞增,設(shè)y=f(x)和y=x﹣ 的交點(diǎn)為(x0,y0),

由f(1)﹣(1﹣1)= >0,f(2)﹣(2﹣ )= <0,即有1<x0<2,

當(dāng)0<x<x0時(shí),g(x)=x﹣ ,

h(x)=g(x)﹣cx2=x﹣ ﹣cx2,h′(x)=1+ ﹣2cx,

由題意可得h′(x)≥0在0<x<x0時(shí)恒成立,

即有2c≤ + ,由y= + 在(0,x0)遞減,

可得2c≤ +

當(dāng)x≥x0時(shí),g(x)= ,

h(x)=g(x)﹣cx2= ﹣cx2,h′(x)= ﹣2cx,

由題意可得h′(x)≥0在x≥x0時(shí)恒成立,

即有2c≤ ,由y= ,可得y′= ,

可得函數(shù)y在(3,+∞)遞增;在(x0,3)遞減,

即有x=3處取得極小值,且為最小值﹣

可得2c≤﹣ ②,

由①②可得2c≤﹣ ,解得c≤﹣


【解析】(1)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),設(shè)出切點(diǎn)(m,n),可得切線的斜率,由切線方程可得a,m的方程,解方程可得a=1;(2)y=f(x)和y=x﹣ 的交點(diǎn)為(x0 , y0),分別畫出y=f(x)和y=x﹣ 在x>0的圖象,可得1<x0<2,再由新定義求得最小值,求得h(x)的解析式,由題意可得h′(x)≥0在0<x<x0時(shí)恒成立,運(yùn)用參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性,即可得到所求c的范圍.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)寫出直線極坐標(biāo)方程,曲線的參數(shù)方程;

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(1)若當(dāng)∠OBC= 時(shí),sin∠BCO= ,求此時(shí)a的值;
(2)設(shè)y=CA2+CB2 , 且CA2+CB2≤232.
(i)試將y表示為a的函數(shù),并求出a的取值范圍;
(ii)若同時(shí)要求市民在水池邊緣任意一點(diǎn)C處觀賞噴泉時(shí),觀賞角度∠ACB的最大值不小于 ,試求A,B兩處噴泉間距離的最小值.

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A.17
B.16
C.15
D.13

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