Question

18．某市A，B兩所中學的學生組隊參加信息聯(lián)賽，A中學推薦了3名男生、2名女生，B中學推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學生一起參加集訓．由于集訓后隊員水平相當，從參加集訓的男生中隨機抽取3人、女生中隨機抽取3人組成代表隊參賽．
（Ⅰ）求A中學至少有1名學生入選代表隊的概率；
（Ⅱ）設X表示A中學參賽的男生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；
（Ⅲ）已知3名男生的比賽成績分別為76，80，84，3名女生的比賽成績分別為77，a（a∈N^*），81，若3名男生的比賽成績的方差大于3名女生的比賽成績的方差，寫出a的取值范圍（不要求過程）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用對立事件的概率，求出參賽學生全從B中抽出的概率值，再求A中學至少有1名學生入選代表隊的概率；
（Ⅱ）由X的可能取值求出對應的概率值，寫出X的分布列，計算數(shù)學期望值EX；
（Ⅲ）平均數(shù)與方差的計算公式，結(jié)合題意即可得出a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意，參加集訓的男、女學生共有6人，
參賽學生全從B中抽出（等價于A中沒有學生入選代表隊）的概率為：
$\frac{{C}_{3}^{3}{•C}_{4}^{3}}{{C}_{6}^{3}{•C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{100}$，
因此A中學至少有1名學生入選代表隊的概率為：
1-$\frac{1}{100}$=$\frac{99}{100}$；
（Ⅱ）X表示A中學參賽的男生人數(shù)，則
X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{0}{•C}_{3}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$$\frac{1}{20}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{•C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{9}{20}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{•C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{9}{20}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}{•C}_{3}^{0}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{20}$．
X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{20}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{1}{20}$

X的數(shù)學期望為EX=0×$\frac{1}{20}$+1×$\frac{9}{20}$+2×$\frac{9}{20}$+3×$\frac{1}{20}$=$\frac{3}{2}$；
（Ⅲ）根據(jù)3名男生的比賽成績?yōu)?6，80，84，
3名女生的比賽成績?yōu)?7，a（a∈N^*），81，
且3名男生的比賽成績的方差大于3名女生的比賽成績的方差，
寫出a的取值范圍是73＜a＜85，且a∈N^*．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列，數(shù)學期望以及古典概型概率的計算問題，是綜合性題目．