Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，點E、F分別為棱AB、PD的中點．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PCE；
（Ⅱ）求證：平面PCE⊥平面PCD；
（Ⅲ）求三棱錐C-BEP的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證AF∥平面PCE，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證AF與平面PCE內(nèi)一直線平行，取PC的中點G，連接FG、EG，AF∥EG又EG?平面PCE，AF?平面PCE，滿足定理條件；
（Ⅱ）欲證平面PCE⊥平面PCD，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面PCE內(nèi)一直線與平面PCD垂直，而根據(jù)題意可得EG⊥平面PCD；
（Ⅲ）三棱錐C-BEP的體積可轉(zhuǎn)化成三棱錐P-BCE的體積，而PA⊥底面ABCD，從而PA即為三棱錐P-BCE的高，根據(jù)三棱錐的體積公式進行求解即可．

解答：解：證明：（Ⅰ）取PC的中點G，
連接FG、EG
∴FG為△CDP的中位線
∴FG

∥ .

.

1

2

CD
∵四邊形ABCD為矩形，
E為AB的中點
∴AE

∥ .

.

1

2

CD
∴FG

∥ .

.

AE
∴四邊形AEGF是平行四邊形（2分）
∴AF∥EG又EG?平面PCE，AF?平面PCE
∴AF∥平面PCE（4分）

（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD
∴PA⊥AD，PA⊥CD，
又AD⊥CD，PA∩AD=A
∴CD⊥平面ADP又AF?平面ADP，
∴CD⊥AF
在RT△PAD中，∠PDA=45°
∴△PAD為等腰直角三角形，
∴PA=AD=2（6分）
∵F是PD的中點，∴AF⊥PD，又CD∩PD=D
∴AF⊥平面PCD
∵AF∥EG，
∴EG⊥平面PCD，又EG?平面PCE
∴平面PCE⊥平面PCD（8分）

（Ⅲ）PA⊥底面ABCD
在Rt△BCE中，BE=1，BC=2，（10分）
∴三棱錐C-BEP的體積
V_C-BEP=V_P-BCE=

1

3

S△BCE•PA=

1

3

•

1

2

•BE•BC•PA=

1

3

•

1

2

•1•2•2=

2

3

（12分）

點評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及平面與平面垂直的判定和三棱錐的體積，屬于中檔題．