已知f(x)=a2x-x3,x∈(-2,2)為正常數(shù).
(1)可以證明:定理“若a、b∈R*,則(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號)”推廣到三個正數(shù)時結(jié)論是正確的,試寫出推廣后的結(jié)論(無需證明);
(2)若f(x)>0在(0,2)上恒成立,且函數(shù)f(x)的最大值大于1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍,并由此猜測y=f(x)的單調(diào)性(無需證明);
(3)對滿足(2)的條件的一個常數(shù)a,設(shè)x=x1時,f(x)取得最大值.試構(gòu)造一個定義在D={x|x>-2,且x≠4k-2,k∈N}上的函數(shù)g(x),使當(dāng)x∈(-2,2)時,g(x)=f(x),當(dāng)x∈D時,g(x)取得最大值的自變量的值構(gòu)成以x1為首項的等差數(shù)列.
【答案】分析:(1)充分分析已知不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)即可推廣出結(jié)論:(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取等號).
(2)首先對函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為:在(0,2)上恒成立,即可獲得a的一個條件,基本不等式的推廣即可找到函數(shù)最大值的表達(dá)形式,即可獲得a的另一個條件,考慮到函數(shù)的奇偶性和最值性進(jìn)而問題即可獲得解答;
(3)根據(jù)題意題意,結(jié)合函數(shù)的周期性特點(diǎn)選擇四個周期函數(shù)即可.
解答:解:(1)若a、b、c∈R+,則(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取等號).
(2)f(x)=ax2-在(0,2)上恒成立,
即a2在(0,2)上恒成立,
∈(0,2),∴a2≥2,即a≥,
又∵
∴x2=a2-,即x=a時,
fmax=
又∵x=a∈(0,2),∴.綜上,得
易知,f(x)是奇函數(shù),∵x=a時,函數(shù)有最大值,∴x=-a時,函數(shù)有最小值.
故猜測:時,f(x)單調(diào)遞減;時,f(x)單調(diào)遞增.
(3)依題意,只需構(gòu)造以4為周期的周期函數(shù)即可.
如對x∈(4k-2,4k+2),k∈N,x-4k∈(-2,2),此時g(x)=g(x-4k)=f(x-4k),
即g(x)=a2(x-4k)-,x∈(4k-2,4k+2).k∈N.
點(diǎn)評:本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合問題.在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了推廣的思想、恒成立的思想以及構(gòu)造的思想.值得同學(xué)們體會反思.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=a2x-
1
2
x3,x∈(-2,2)為正常數(shù).
(1)可以證明:定理“若a、b∈R*,則
a+b
2
ab
(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號)”推廣到三個正數(shù)時結(jié)論是正確的,試寫出推廣后的結(jié)論(無需證明);
(2)若f(x)>0在(0,2)上恒成立,且函數(shù)f(x)的最大值大于1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍,并由此猜測y=f(x)的單調(diào)性(無需證明);
(3)對滿足(2)的條件的一個常數(shù)a,設(shè)x=x1時,f(x)取得最大值.試構(gòu)造一個定義在D={x|x>-2,且x≠4k-2,k∈N}上的函數(shù)g(x),使當(dāng)x∈(-2,2)時,g(x)=f(x),當(dāng)x∈D時,g(x)取得最大值的自變量的值構(gòu)成以x1為首項的等差數(shù)列.

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已知f(x)=a2x-2ax+1+2,(a>0,a≠1)的定義域為[-1,+∞).
(Ⅰ)若a=2,求y=f(x)的最小值;
(Ⅱ)當(dāng)0<a<1時,若f(x)≤3對x∈[-1,2]恒成立,求a的范圍.

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(Ⅰ)若a=2,求y=f(x)的最小值;
(Ⅱ)當(dāng)0<a<1時,若f(x)≤3對x∈[-1,2]恒成立,求a的范圍.

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已知f(x)=a2x-x3,x∈(-2,2)為正常數(shù).
(1)可以證明:定理“若a、b∈R*,則(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號)”推廣到三個正數(shù)時結(jié)論是正確的,試寫出推廣后的結(jié)論(無需證明);
(2)若f(x)>0在(0,2)上恒成立,且函數(shù)f(x)的最大值大于1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍,并由此猜測y=f(x)的單調(diào)性(無需證明);
(3)對滿足(2)的條件的一個常數(shù)a,設(shè)x=x1時,f(x)取得最大值.試構(gòu)造一個定義在D={x|x>-2,且x≠4k-2,k∈N}上的函數(shù)g(x),使當(dāng)x∈(-2,2)時,g(x)=f(x),當(dāng)x∈D時,g(x)取得最大值的自變量的值構(gòu)成以x1為首項的等差數(shù)列.

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