Question

（本題滿分18分）第（1）小題滿分6分，第（2）小題滿分6分，第（3）小題滿分6分。

圓錐曲線上任意兩點(diǎn)連成的線段稱為弦。若圓錐曲線上的一條弦垂直于其對稱軸，我們將該弦稱之為曲線的垂軸弦。已知點(diǎn)、是圓錐曲線C上不與頂點(diǎn)重合的任意兩點(diǎn)，是垂直于軸的一條垂軸弦，直線分別交軸于點(diǎn)和點(diǎn)。

（1）試用的代數(shù)式分別表示和；

（2）若C的方程為（如圖），求證：是與和點(diǎn)位置無關(guān)的定值；

（3）請選定一條除橢圓外的圓錐曲線C，試探究和經(jīng)過某種四則運(yùn)算（加、減、乘、除），其結(jié)果是否是與和點(diǎn)位置無關(guān)的定值，寫出你的研究結(jié)論并證明。

（說明：對于第3題，將根據(jù)研究結(jié)論所體現(xiàn)的思維層次，給予兩種不同層次的評分）

Answer 1

（1）因?yàn)?img width=31 height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/315/132815.gif" >是垂直于軸的一條垂軸弦，所以

                 則 ……………. 2分

         令則……………. 4分

         同理可得：，……………. 6分

（2）由（1）可知：……………. 8分

         在橢圓C：上，，

           則（定值）

是與和點(diǎn)位置無關(guān)的定值         …………. 12分

（3）第一層次：

①點(diǎn)是圓C：上不與坐標(biāo)軸重合的任意一點(diǎn)，是垂直于軸的垂軸弦，直線分別交軸于點(diǎn)和點(diǎn)，則�！�…………. 16分

證明如下：由（1）知：  

         在圓C：上，，

           則

是與和點(diǎn)位置無關(guān)的定值

②點(diǎn)是雙曲線C：上不與頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，是垂直于軸的垂軸弦，直線分別交軸于點(diǎn)和點(diǎn)，則�！�…………. 16分

證明如下：由（1）知：  

         在雙曲線C：上，，

           則

是與和點(diǎn)位置無關(guān)的定值

第二層次：

點(diǎn)是拋物線C：上不與頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，是垂直于軸的垂軸弦，直線分別交軸于點(diǎn)和點(diǎn)，則�！�………. 18分      

證明如下：由（1）知： ，

在拋物線C：上，

則

是與和點(diǎn)位置無關(guān)的定值