Question

已知函數(shù)f(x)=lg(x+

a

x

-2)，其中a是大于0的常數(shù)．
（1）設g(x)=x+

a

x

，判斷并證明g（x）在[

a

，+∞)內的單調性；
（2）當a∈（1，4）時，求函數(shù)f（x）在[2+∞）內的最小值；
（3）若對任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，試確定a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）用單調性的定義進行證明：設在[

a

，+∞)內有兩個自變量x₁、x₂，且x₁＜x₂，然后將g（x₁）-g（x₂）分解因式，得到(x1-x2)•

(x1x2-a)

x1x2

，通過討論這個差的正負，得到g（x₁）＜g（x₂），從而g（x）在[

a

，+∞)內是增函數(shù)；
（2）根據(jù)（1）的結論，得到真數(shù)對應的函數(shù)u(x)=x+

a

x

-2當a∈（1，4）時，在區(qū)間[2+∞）內是增函數(shù)，再結合對數(shù)函數(shù)y=lgx在其定義域上為增函數(shù)，得到f（x）在[2+∞）上也是增函數(shù)，從而得出最小值為f(2)=lg

a

2

；
（3）將不等式f（x）＞0變形，得到不等式x+

a

x

-2＞1對x∈[2，+∞）恒成立，然后移項去分母，可得a＞3x-x²區(qū)間[2，+∞）恒成立，即a＞（3x-x²）_max．最后求出二次函數(shù)h（x）=3x-x²在區(qū)間[2，+∞）上是減函數(shù)，從而得到其最大值為h（2）=2，從而得到a的取值范圍是（2，+∞）．

解答：解：（1）設在[

a

，+∞)內有兩個自變量x₁、x₂，且x₁＜x₂，
則g（x₁）-g（x₂）=x 1+

a

x 1

-(x 2+

a

x 2

)=(x1-x2)+

a(x2-x1)

x1x2

=(x1-x2)(1-

a

x1x2

)=(x1-x2)•

(x1x2-a)

x1x2

∵x₁＜x₂，

a

≤x1，

a

≤x2
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0且x₁x₂-a＞0，
∴g（x₁）-g（x₂）＜0，可得g（x₁）＜g（x₂）
所以函數(shù)g（x）在[

a

，+∞)內是增函數(shù)；
（2）設u(x)=x+

a

x

-2，當a∈（1，4），x∈[2，+∞）時
由（1）知u(x)=x+

a

x

-2在[2，+∞）上是增函數(shù)
又∵對數(shù)函數(shù)y=lgx在其定義域上為增函數(shù)，
∴f(x)=lg(x+

a

x

-2)在[2，+∞）上是增函數(shù)
∴f(x)=lg(x+

a

x

-2)在[2，+∞）上的最小值為f(2)=lg

a

2

（2）對任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，
即lg(x+

a

x

-2)＞0在區(qū)間[2，+∞）恒成立，
而常用對數(shù)的底為10＞1，lg1=0，所以x+

a

x

-2＞1對x∈[2，+∞）恒成立
∴移項，去分母得a＞3x-x²區(qū)間[2，+∞）恒成立，即a＞（3x-x²）_max
設h(x)=3x-x2=-(x-

3

2

)2+

9

4

，
∵在x∈[2，+∞）上h（x）是減函數(shù)
∴h（x）_max=h（2）=2，
∴a＞2

點評：本題給出一個分式函數(shù)與對數(shù)函數(shù)復合類型的函數(shù)，通過研究它的單調性與最值，考查了用定義證明函數(shù)單調性、對數(shù)函數(shù)圖象與性質的綜合應用、復合函數(shù)的單調性和函數(shù)的最值等知識點，屬于中檔題．