Question

【題目】已知圓C:，直線(xiàn):

（1）求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)；

（2）判斷該定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；

（3）當(dāng)m為何值時(shí)，直線(xiàn)被圓C截得的弦最長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）直線(xiàn)l與圓C總相交．（3）

【解析】

（1）由題意可知：，則，即可求得點(diǎn)坐標(biāo)，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)；

（2）由坐標(biāo)代入圓的方程，得左邊右邊，點(diǎn)在圓內(nèi)；

（3）當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，被截得的弦最長(zhǎng)，可知直線(xiàn)的斜率，由，則，即可求得的值．

（1）證明：將直線(xiàn)，

整理得：，

由于的任意性，則，解得，

直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)；

（2）把點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的方程，得左邊右邊，

點(diǎn)在圓內(nèi)；

（3）當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，被截得的弦最長(zhǎng)（等于圓的直徑長(zhǎng)），

此時(shí)，直線(xiàn)的斜率，

由直線(xiàn)的方程得，

由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，

，解得：，

所以，當(dāng)，時(shí)，直線(xiàn)被圓截得的弦最長(zhǎng)．