Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=|x﹣2|+|x+a|（a∈R）．
（1）若a=1時(shí)，求不等式f（x）≥4的解集；
（2）若不等式f（x）≤2x的解集為[1，+∞），求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=1時(shí)，f（x）≥4可化為|x﹣2|+|x+1|≥4．

x＜﹣1時(shí)，2﹣x﹣x﹣1≥4，∴x≤﹣ ；

﹣1≤x≤2時(shí)，2﹣x+x+1≥4，無解；

x＞2時(shí)，x﹣2+x+1≥4，∴x≥ ．

綜上所述，不等式的解集為{x|x≤﹣ 或x≥ }

（2）解：∵不等式f（x）≤2x的解集為[1，+∞），

∴|x﹣2|+|x+a|=2x的一個(gè)根是1，

∴a=0或﹣2．

a=0時(shí)，由|x﹣2|+|x|≤2x，解得x≥1，合題意；

a=﹣2時(shí)，由2|x﹣2|≤2x，解得x≥1，合題意；

綜上所述，a=0或﹣2

【解析】（1）a=1時(shí)，f（x）≥4可化為|x﹣2|+|x+1|≥4．去掉絕對(duì)值符號(hào)解不等式，即可求不等式f（x）≥4的解集；（2）若不等式f（x）≤2x的解集為[1，+∞），則|x﹣2|+|x+a|=2x的一個(gè)根是1，求出a，再進(jìn)行驗(yàn)證，即可求a的值．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用絕對(duì)值不等式的解法，掌握含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)即可以解答此題．